Упражнение 874 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(a_1,\; a_2,\; a_3\) - данная арифметическая прогрессия, пусть \(d\) - разность прогрессии. Тогда: 

\( a_1=1,\; a_2=1+d,\; a_3=1+2d. \)

Пусть \(b_1,\; b_2,\; b_3\) - полученная геометрическая прогрессия, по условию запишем:

\(b_1=a_1=1\)

\(b_2= (1+d)+3=4+d \)

\(b_3= (1+2d)^2 \)

Получается геометрическая прогрессия:

\[ 1,\; 4+d,\; (1+2d)^2 \]

Для геометрической прогрессии выполняется свойство:

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)

\(b_2^2=b_{1}\cdot b_{3}\)

\( (4+d)^2=1\cdot(1+2d)^2 \)

\( d^2+8d+16=1+4d+4d^2 \)

Перенесём всё в одну сторону:

\(1+4d+4d^2-d^2-8d-16=0\)

\(3d^2-4d-15=0 \)

\(D=(-4)^2-4\cdot 3 \cdot(-15)=\)

\(=16+180=196>0\) - 2 корня.

\(\sqrt{D}=14.\)

\( d_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \)

\(d_1=\frac{4+14}{6}=\frac{18}{6}=3 \)

\(d_2=\frac{4-14}{6}=\frac{-10}{6}=-\frac{5}{3}=-1\frac{2}{3} \) - не является целым числом.

Тогда члены арифметической прогрессии:

\( a_1=1,\)

\(a_2=1+3=4,\)

\(a_3=1+2\cdot3=7. \)

Проверка:

\( b_1=1,\;b_2=4+3=7,\)

\(b_3=7^2=49 \)

\(b_2^2=b_{1}\cdot b_{3}\)

\(7^2=1\cdot49 \)

\(49=49 \) - верно, получается геометрическая прогрессия.

Ответ: \( 1,\;4,\;7. \)

Пояснения:

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число \(d\), называемое разностью прогрессии.

Формула последовательных членов:

\[ a_1=a,\quad a_2=a+d,\quad a_3=a+2d. \]

В задаче первый член известен и равен \(1\), поэтому члены прогрессии:

\( a_1=1,\; a_2=1+d,\; a_3=1+2d. \)

Далее по условию задачи выполняются преобразования: ко второму числу прибавляют \(3\), а третье число возводят в квадрат. После этих действий должна получиться геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия обладает важным свойством: квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего её членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}\)

Именно это свойство используется для составления уравнения:

\[ (4+d)^2=1\cdot(1+2d)^2. \]

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получается квадратное уравнение. Оно имеет два решения, но только одно из них даёт целые числа последовательности.

При \(d=3\) получаем числа:

\[ 1,\;4,\;7. \]

Проверка показывает, что после преобразований получается последовательность

\[ 1,\;7,\;49, \]

а это действительно геометрическая прогрессия с знаменателем \(7\).