Вернуться к содержанию учебника
№863 учебника 2023-2026 (стр. 211):
За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго. Известно, что если бы один третий рабочий проработал 48 ч, то для окончания работы одному первому потребовалось бы 10 ч, а одному второму — 15 ч.
№863 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Вспомните:
№863 учебника 2023-2026 (стр. 211):
Пусть объем всей работы равен \(1\) и \(x\) ч потребуется на всю работу 1 рабочему, \(y\) ч - 2 рабочему, \(z\) ч - 3 рабочему. Тогда их производительности соответственно равны: \(\frac1x\), \(\frac1y\), \(\frac1z\), тогда:
\(\frac12\left(\frac1x+\frac1y\right)=\frac1z\) \(/\times2\)
\(\frac1x+\frac1y=\frac2z\)
За \(48\) ч третий рабочий выполнит \(\frac{48}{z}\) часть работы, первый за \(10\) ч выполнит \(\frac{10}{x}\) часть работы, второй за \(15\) ч выполнит \(\frac{15}{y}\) часть работы, тогда:
\(\frac{48}{z} + \frac{10}{x} = 1\),
\(\frac{48}{z} + \frac{15}{y} = 1\).
Составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac2z,\\[6pt] \dfrac{48}{z} + \dfrac{10}{x} = 1,\\[8pt] \dfrac{48}{z} + \dfrac{15}{y} = 1 \end{cases} \]
1) Вычитаем из уравнения 2 системы уравнение 3:
\( \dfrac{48}{z} + \dfrac{10}{x} - \dfrac{48}{z} - \dfrac{15}{y} = 1-1\)
\(\dfrac{10}{x} - \dfrac{15}{y} = 0 \)
\(\dfrac{10}{x} =\dfrac{15}{y} \)
\(10y = 15x\) \(/ : 10\)
\(y = 1,5x\)
2) Подставим \(y = 1,5x\) в 1 уравнение системы:
\(\dfrac1x+\dfrac{1}{1,5x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac1x+\dfrac{10}{15x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac1x ^{\color{blue}{\backslash3}} +\dfrac{2}{3x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac{3+2}{3x}=\dfrac2z\)
\(\dfrac{5}{3x}=\dfrac2z\)
\(5z = 6x\) \(/ : 5\)
\(z = 1,2x\)
3) Подставим \(z = 1,2x\) во 2 уравнение системы:
\(\dfrac{48}{1,2x} + \dfrac{10}{x} = 1\)
\(\dfrac{480}{12x} + \dfrac{10}{x} = 1\)
\(\dfrac{40}{x} + \dfrac{10}{x} = 1\)
\(\dfrac{50}{x} = 1\)
\(x = 50\)
4) \(y = 1,5\cdot50 = 75\)
5) \(z = 1,2\cdot50 = 60\)
Ответ: \( 50\text{ ч},\ 75\text{ ч},\ 60\text{ ч}. \)
Пояснения:
В задачах на совместную работу обычно используют понятие производительности. Производительность показывает, какую часть всей работы выполняет рабочий за 1 час.
Если рабочий выполняет всю работу за \(T\) часов, то его производительность равна:
\[ \frac{1}{T}. \]
Обозначив время первого, второго и третьего рабочих на выполнение всей работы через \(x\), \(y\) и \(z\), по условию задачи составляем систему уравнений, которую решаем методом подстановки.
Вернуться к содержанию учебника