Упражнение 775 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x+3y=2,\\ xy=a \end{cases}\)

\(\begin{cases} x=2-3y,\\ (2-3y)y=a \end{cases}\)

\((2-3y)y=a\)

\(2y-3y^2=a\)

\(3y^2-2y+a=0\)

\(D=(-2)^2-4\cdot3\cdot a=4-12a\)

Уравнение имеет ндинственное решение при \(D=0\):

\(4-12a=0\)

\(12a=4\)

\(a = \frac{4}{12}\)

\(a=\dfrac{1}{3}\)

Ответ: при \(a=\dfrac{1}{3}\).

Пояснения:

1. Метод решения.

Используем способ подстановки: из линейного уравнения выражаем одну переменную и подставляем во второе уравнение.

2. Получение квадратного уравнения.

После подстановки \(x=2-3y\) в условие \(xy=a\) получаем квадратное уравнение:

\[3y^2-2y+a=0.\]

3. Условие единственного решения.

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда квадратное уравнение имеет один корень. Это происходит при нулевом дискриминанте:

\[D=b^2-4ac.\]

В нашем случае:

\[D=4-12a.\]

Приравниваем к нулю и находим \(a\).

4. Вывод.

Система имеет единственное решение только при

\[a=\dfrac{1}{3}.\]

\(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

\(n_1=10; k_1=3;\)

\(n_2=4; k_2=2;\)

\(\small C_{10}^3 \cdot C_{4}^2  = \frac{10!}{3!(10-3)!}\cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} = \)

\(\small = \frac{7!\cdot8\cdot9\cdot10}{1\cdot2\cdot3\cdot7!}\cdot \frac{2!\cdot3\cdot4}{2\cdot2!} = \)

\(=720. \)

Ответ: \(720\) способами.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Формула сочетаний:

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. Правило произведения:

Если нужно выполнить два независимых выбора, общее число способов равно произведению.

Рассуждение:

Нужно выбрать:

— 3 книги из 10;

— 2 журнала из 4.

Порядок не важен, поэтому используем сочетания.

Число способов выбрать книги: \( C_{10}^3 \)

Число способов выбрать журналы: \( C_{4}^2 \)

Общее число способов:

\[ C_{10}^3 \cdot C_{4}^2 \]