Упражнение 703 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^4 - 25y^2 = (x^2)^2 - (5y)^2=\)

\(= (x^2 - 5y)(x^2 + 5y).\)

б) \(4b^2 - 0{,}01c^6 = (2b)^2 - (0{,}1c^3)^2=\)

\(= (2b - 0{,}1c^3)(2b + 0{,}1c^3).\)

в) \(8a^3 + c^3 = (2a)^3 + c^3=\)

\(= (2a + c)(4a^2 - 2ac + c^2).\)

г) \(x^9 - 27 = (x^3)^3 - 3^3=\)

\(= (x^3 - 3)(x^6 + 3x^3 + 9).\)

д) \(9ab^2 - 16ac^2 = a(9b^2 - 16c^2)=\)

\(= a((3b)^2 - (4c)^2)=\)

\(= a(3b - 4c)(3b + 4c).\)

е) \(-20xy^3 + 45x^3y = 5xy(-4y^2 + 9x^2)\)

\(= 5xy(9x^2-4y^2 )=\)

\(= 5xy((3x)^2 - (2y)^2)=\)

\(= 5xy(3x - 2y)(3x + 2y).\)

Пояснения:

1. Формула разности квадратов

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

2. Формула суммы кубов

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

3. Формула разности кубов

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

4. Вынесение общего множителя

\(ab + ac = a(b + c)\)

Пусть три числа одновременно образуют арифметическую и геометрическую прогрессию.

Как арифметическая прогрессия:

\(a-d,\ a,\ a+d\).

Как геометрическая прогрессия:

\(\dfrac{a}{a-d}=\dfrac{a+d}{a}\).

\(a\cdot a=(a-d)(a+d)\).

\(a^2=a^2-d^2\)

\( d^2= a^2-a^2\)

\(d^2=0\).

\(d=0\).

Тогда все три числа равны:

\(a,\ a,\ a\) - арифметическая прогрессия с \(d = 0\).

\(a,\ a,\ a\) - геометрическая прогрессия с \(q = 1\).

Ответ: существуют три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Три последовательных члена арифметической прогрессии можно записать в виде \(a-d,\ a,\ a+d\).

2) Для трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, квадрат среднего равен произведению крайних:

\[a^2=(a-d)(a+d).\]

Анализ условия.

Если три числа являются одновременно членами арифметической и геометрической прогрессии, то для них должны выполняться оба свойства.

Из условия геометрической прогрессии получаем равенство

\(a^2=(a-d)(a+d)\).

После раскрытия скобок это равенство возможно только при \(d=0\).

Вывод.

Разность арифметической прогрессии равна нулю, значит все три числа равны между собой.