Упражнение 689 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\small \dfrac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{1{,}5};\)

\(\small \dfrac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{(\sqrt{18})^2-3^2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{18-9}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{9}{6}}=\sqrt{1,5.}\)

\(\sqrt{1{,}5}=\sqrt{1{,}5}\) - верно. 

б) \(\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\sqrt{0{,}4}.\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49-(\sqrt{24})^2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49-24}}=\)

\(\small =\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\sqrt{\frac{10}{25}}=\sqrt{0{,}4}.\)

\(\sqrt{0{,}4}=\sqrt{0{,}4}\) - верно.

Пояснения:

Чтобы доказать равенства преобразуем левую часть равенства, для этого используем:

1) Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a\geq0\)  и \(b\geq0\), выполняется равенство \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.\) 

2) Формула разности квадратов:

\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2.\]

3) Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a\geq0\)  и \(b>0\), выполняется равенство \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt{b}}.\)

а) \(10; 11; 12; \dots; 99\) - арифметическая прогрессия с \(d = 1\).

\(a_1=10,\ a_n=99\)

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(10 + (n-1)\cdot1 = 99\)

\(10 + n - 1 = 99\)

\(9 + n = 99\)

\(n = 99 - 9\)

\(n = 90\)

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{90}=\dfrac{a_1+a_{90}}{\cancel2}\cdot \cancel{90}  ^{\color{red}{45}} =\)

\(=(10+99)\cdot45=\)

\(=109\cdot 45=4905\).

Ответ: \(4905\).

б) \(100; 101; 102; \dots; 999\) - арифметическая прогрессия с \(d = 1\).

\(a_1=100,\ a_n=999\)

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(100 + (n-1)\cdot1 = 999\)

\(100 + n - 1 = 999\)

\(99 + n = 999\)

\(n = 999 - 99\)

\(n = 900\)

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{900}=\dfrac{a_1+a_{900}}{\cancel2}\cdot \cancel{900}  ^{\color{red}{450}} =\)

\(=(100 + 999)\cdot 450 =\)

\(=1099\cdot 450=494\,550\).

Ответ: \(494\,550\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Все двузначные и трёхзначные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d=1\).

2) Количество последовательных целых чисел от \(a_1\) до \(a_n\) включительно находим через формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии.

\(a_n = a_1+(n-1)d\).

3) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\]

а) Сумма всех двузначных чисел.

Двузначные числа начинаются с \(10\) и заканчиваются \(99\). Их всего \(90\), поэтому сумма находится по формуле суммы арифметической прогрессии.

б) Сумма всех трёхзначных чисел.

Трёхзначные числа начинаются с \(100\) и заканчиваются \(999\). Их всего \(900\), поэтому сумма находится по формуле суммы арифметической прогрессии.