Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№686 учебника 2023-2026 (стр. 189):
а) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Какая сумма окажется у него на счёте через 2 года, если он никаких сумм со счёта не снимал и дополнительных вложений не делал?
б) Клиент банка внёс 80 000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Через год он положил на этот же вклад ещё 20 000 р. Какая сумма будет у него на счёте через 2 года после открытия счёта в банке?
№686 учебника 2014-2022 (стр. 178):
На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков, и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна \(3\) см.
№686 учебника 2023-2026 (стр. 189):
№686 учебника 2014-2022 (стр. 178):
Вспомните:
№686 учебника 2023-2026 (стр. 189):
а) 1) \(5\%=5:100 = 0,05\)
\(80 000 \cdot0,05 = 4 000\) (р.) - доход за первый год вклада.
2) \(80 000 + 4 000 =84000\) (р.) - сумма на счете в конце первого года.
3)\(84 000 \cdot0,05 = 4 200\) (р.) - доход за второй год вклада.
4) \(84 000 + 4 200 =88200\) (р.) - сумма на счёте через 2 года.
Ответ: \(88200\) рублей.
б) 1) \(5\%=5:100 = 0,05\)
\(80 000 \cdot0,05 = 4 000\) (р.) - доход за первый год вклада.
2) \(80 000 + 4 000 =84000\) (р.) - сумма на счете в конце первого года.
3) \(84 000 + 20 000 =104000\) (р.) - сумма на счете после дополнительного взноса.
4) \(104 000 \cdot0,05 =5200 \) (р.) - доход за второй год вклада.
5) \(104000+5200=109200\) (р.) - будет на счёте через 2 года после открытия счёта в банке.
Ответ: \(109200\) рублей.
Пояснения:
Чтобы найти доход, который получит вкладчик за год, надо найти \(5\%\) от суммы, которая находится на вкладе. Чтобы найти, процент от числа, надо преобразовать проценты в десятичную дробь, для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100, затем умножить полученную дробь на данное число.
Чтобы найти сумму, которая окажется на вкладе в конце года, надо сложить изначальную сумму и доход.
№686 учебника 2014-2022 (стр. 178):
По подобию треугольников длины отрезков пропорциональны расстояниям от вершины угла, поэтому они образуют арифметическую прогрессию.
Количество таких отрезков равно \(12\).
Наименьший отрезок равен \(a_1=3\).
Разность прогрессии равна длине наименьшего отрезка:
\(d=3\).
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(a_{12}=a_1+(12-1)d=\)
\(=3+11\cdot 3=36\) - длина последнего отрезок.
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)
\(S_{12}=\dfrac{(a_1+a_{12})}{2}\cdot12=\)
\(=\dfrac{(3+36)\cdot\cancel{12} ^{\color{blue}{6}} }{\cancel2}=\)
\(=39\cdot6 = 234\)
Ответ: сумма длин всех параллельных отрезков равна 234 см.
Пояснения:
Используемые правила и приёмы:
1) Если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла, то соответствующие отрезки на другой стороне пропорциональны расстояниям от вершины угла.
2) При равных расстояниях от вершины полученные отрезки образуют арифметическую прогрессию.
3) Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:
\[d=a_2-a_1.\]
4) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
5) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\,n.\]
Почему получается арифметическая прогрессия.
Через точки, равноудалённые от вершины угла, проведены параллельные прямые. Они образуют с другой стороной угла подобные треугольники.
Из подобия треугольников следует, что длины отрезков, заключённых между сторонами угла, увеличиваются на одну и ту же величину при каждом шаге. Следовательно, полученные отрезки образуют арифметическую прогрессию.
Нахождение суммы.
Наименьший отрезок равен \(3\), всего таких отрезков \(12\), разность прогрессии также равна \(3\).
Используя формулу суммы арифметической прогрессии, получаем:
\[S_{12}=156.\]
Вернуться к содержанию учебника