Упражнение 652 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2+6+10+\dots+198\)

\(a_1=2,\ a_2 = 6\),

\(d=a_2 - a_1=6-2=4,\)

\(a_n=198\)

\(a_n = a_1 + d(n-1)\)

\(2+(n-1)\cdot 4=198\)

\(4(n-1)=198-2\)

\(4(n-1)=196\)

\(n - 1 = \frac{196}{4}\)

\(n - 1 = 49\)

\(n = 49 + 1\)

\(n=50\)

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)

\(S_{50}=\dfrac{(a_1+a_{50})}{2}\cdot50 = \)

\(=\dfrac{(2+198)\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=200\cdot 25=5000\).

Ответ: \(5000\).

б) \(95+85+75+\dots+(-155)\)

\(a_1=95,\ a_2 = 85,\)

\(d=a_2 - a_1=85-95=-10,\)

\(a_n=-155\)

\(a_n = a_1 + d(n-1)\)

\(95+(n-1)\cdot(-10)=-155\)

\(-10(n-1)=-155-95\)

\(-10(n-1) = -250\)

\(n - 1 = \frac{-250}{-10}\)

\(n-1 = 25\)

\(n=25+1\)

\(n=26\)

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)

\(S_{26}=\dfrac{(a_1+a_{26})}{2}\cdot26=\)

\(=\dfrac{(95+(-155))\cdot\cancel{26}  ^{\color{blue}{13}} }{\cancel2}=\)

\(=-60\cdot13=-780\)

Ответ: \(-780\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:

\[d=a_2-a_1.\]

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\,n.\]

а) Сначала находим количество слагаемых \(n\), решая уравнение для последнего члена прогрессии \(a_n = 198\). После этого используем формулу суммы через первый и последний члены прогрессии.

б) Последовательность убывает, так как разность отрицательная. Количество членов также находится из формулы \(n\)-го члена, затем применяется формула суммы через первый и последний члены прогрессии.

а) \(1;\ 3;\ 3^2;\ldots\);

\(b_1=1\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{3}{1}=3\)

\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)

\(=\dfrac{1\cdot(3^n-1)}{3-1}=\dfrac{3^n-1}{2}.\)

Ответ: \(S_n=\dfrac{3^n-1}{2}.\)

б) \(2;\ 2^2;\ 2^3;\ldots\);

\(b_1=2\)

\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{2^2}{2}=2\)

\( S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)

\(=\dfrac{2\cdot(2^n-1)}{2-1}=2(2^n-1).\)

Ответ: \( S_n=2(2^n-1).\)

в) \(\dfrac12;\ -\dfrac14;\ \dfrac18;\ldots\);

\(b_1=\dfrac12\)

\(\small q=\frac{b_2}{b_1}=-\frac14:\frac12=-\frac14\cdot2=-\dfrac12\)

\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)

\(=\dfrac{\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}{-\dfrac12-1} =\)

\(=\dfrac{\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}{-1\dfrac12} =\)

\(={\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}:{\left(-\dfrac32\right)} =\)

\(=-{\dfrac12\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr)}\cdot\dfrac23 =\)

\(=-\dfrac{1}{3}\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr).\)

Ответ: \(S_n=-\dfrac{1}{3}\cdot\Biggl(\left(-\dfrac12\right)^n-1\Biggr).\)

г) \(1;\ -x;\ x^2;\ldots\), где \(x\ne -1\);

\(b_1=1\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{-x}{1}=-x\)

\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot((-x)^n-1)}{-x-1}=\)

\(=-\dfrac{((-x)^n-1)}{x+1}=\)

\(=\dfrac{1-(-x)^n}{1+x}.\)

Ответ: \(S_n=\dfrac{1-(-x)^n}{1+x}.\)

д) \(1;\ x^2;\ x^4;\ldots\), где \(x\ne \pm1\);

\(b_1=1\)

\(q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{x^2}{1}=x^2\)

\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)

\(=\dfrac{1\cdot((x^2)^n-1)}{x^2-1}=\dfrac{x^{2n}-1}{x^2-1}.\)

Ответ: \(S_n=\dfrac{x^{2n}-1}{x^2-1}.\)

е) \(1;\ -x^3;\ x^6;\ldots\), где \(x\ne -1\).

\(b_1=1\)

\( q=\frac{b_2}{b_1}=\dfrac{-x^3}{1}=-x^3\)

\( S_n=\dfrac{1\cdot((-x^3)^n-1)}{-x^3-1}=\)

\(=\dfrac{1-(-x^3)^n}{1+x^3}.\)

Ответ: \( S_n=\dfrac{1-(-x^3)^n}{1+x^3}.\)

Пояснения:

1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

2. Знаменатель прогрессии ищем по формуле:

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}\)

3. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

Как получены ответы.

В пунктах а), б), в) сначала найден знаменатель \(q\) как отношение второго члена к первому. Затем подставлены \(b_1\), \(q\) и \(n\) в формулу суммы.

В пунктах г), д), е) члены прогрессии заданы через переменную \(x\). Знаменатель \(q\) находится как отношение второго члена к первому: для г) \(q=-x\), для д) \(q=x^2\), для е) \(q=-x^3\). После этого применяется та же формула суммы.

Ограничения \(x\ne -1\) и \(x\ne \pm1\) нужны, чтобы знаменатель в формуле суммы не обращался в нуль: в г) \(1+x\ne0\), в д) \(1-x^2\ne0\), в е) \(1+x^3\ne0\).