Упражнение 653 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 184

По подобию треугольников длины отрезков пропорциональны расстояниям от вершины угла, поэтому они образуют арифметическую прогрессию.

Количество таких отрезков равно \(12\).

Наименьший отрезок равен \(a_1=3\).

Разность прогрессии равна длине наименьшего отрезка:

\(d=3\).

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(a_{12}=a_1+(12-1)d=\)

\(=3+11\cdot 3=36\) - длина последнего отрезок.

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)

\(S_{12}=\dfrac{(a_1+a_{12})}{2}\cdot12=\)

\(=\dfrac{(3+36)\cdot\cancel{12}  ^{\color{blue}{6}} }{\cancel2}=\)

\(=39\cdot6 = 234\)

Ответ: сумма длин всех параллельных отрезков равна 234 см.

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Если несколько параллельных прямых пересекают стороны угла, то соответствующие отрезки на другой стороне пропорциональны расстояниям от вершины угла.

2) При равных расстояниях от вершины полученные отрезки образуют арифметическую прогрессию.

3) Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:

\[d=a_2-a_1.\]

4) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

5) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\,n.\]

Почему получается арифметическая прогрессия.

Через точки, равноудалённые от вершины угла, проведены параллельные прямые. Они образуют с другой стороной угла подобные треугольники.

Из подобия треугольников следует, что длины отрезков, заключённых между сторонами угла, увеличиваются на одну и ту же величину при каждом шаге. Следовательно, полученные отрезки образуют арифметическую прогрессию.

Нахождение суммы.

Наименьший отрезок равен \(3\), всего таких отрезков \(12\), разность прогрессии также равна \(3\).

Используя формулу суммы арифметической прогрессии, получаем:

\[S_{12}=156.\]