Упражнение 189 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(f(x)=x^{3}-7x\)

\( f(-x)=(-x)^{3}-7(-x)=\)

\(=-x^{3}+7x=\)

\(=-(x^3 - 7x) = -f(x).\)

\( f(-x)= -f(x)\), значит, функция нечётная.

б) \(f(x)=\dfrac{x^{2}+9}{x}\)

\(f(-x)=\dfrac{(-x)^{2}+9}{-x}=\dfrac{x^{2}+9}{-x}=\)

\(=-\dfrac{x^{2}+9}{x} = -f(x).\)

\( f(-x)=-f(x)\), значит, функция нечётная.

Пояснения:

Правила чётности и нечётности:

— функция чётная, если

\(\,f(-x)=f(x)\);

— функция нечётная, если

\(\,f(-x)=-f(x)\).

Свойство нечетной степени:

\((-x)^3 = -x^3\).

Свойство четной степени:

\((-x)^2 = x^2\).

Противоположные выражения:

\(-a + b = -(a - b)\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\).

\(g(x)=\dfrac{6}{|x-2|}\)

Асимптоты: \(x = 2\) и \(y = 0\).

а) \(g(x)=3\)

Ответ: \(x = 0\)  и  \(x = 4\).

б) \(g(x)=6\)

Ответ: \(x = 1\)  и  \(x = 3\).

в) \(g(x)=-2\)

Ответ: решений нет.

Пояснения:

Модуль удовлетворяет равенству \(|A|=k\) при \(k>0\), если \(A=k\) или \(A=-k\).

Функция \(\dfrac{6}{|x-2|}\) всегда положительна, так как числитель положителен, а модуль неотрицателен.

\(g(x)=\dfrac{6}{|x-2|}\) - функция имеет вертикальную асимптоту \(x=2\) и горизонтальную асимптоту \(y=0\). Поэтому график — гипербола \(y=\dfrac{6}{x}\), сдвинутая вправо на \(2\) единицы и отрицательная ветвь которой симметрично отражена относительно оси \(x\). Для построения графика функции пунктиром проводим асимптоту: прямую \(x = 2\). Так как гипербола состоит из двух ветвей, составляем две таблицы: одну для \(x < 2\), другую для \(x > 2\). Отметив точки в координатной плоскости, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной непрерывной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, используя вторую таблицу, получим вторую ветвь гиперболы.

Чтобы решить уравнения вида \(g(x) = k\), нужно найти точки пересечения графиков \(g(x)=\dfrac{6}{|x-2|}\) и \(g(x) = k\), абсциссы (координаты \(x\)) этих точек являются корнем рассматриваемого уравнения.

\(g(x) = k\) - прямая, параллельная оси \(x\), проходящая через точку \((0; k)\).