Упражнение 348 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} x^2 + x - 6 < 0,\\ -x^2 + 2x + 3 > 0 \end{cases} \)

1) \(x^2 + x - 6 < 0\)

\(y = x^2 + x - 6\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + x - 6 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-6) =\)

\(=1 + 24 = 25 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{25} = 5\).

\(x_1 = \frac{-1 + 5}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2. \)

\(x_2 = \frac{-1 - 5}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3. \)

2) \(-x^2 + 2x + 3 > 0\)

\(y = -x^2 + 2x + 3\) - парабола, ветви которой направлены вниз.

\(-x^2 + 2x + 3 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(x^2 - 2x - 3 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) =\)

\(= 4 + 12 = 16 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{16} = 4\).

\(x_1 = \frac{2 + 4}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{2 - 4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Ответ: \(x \in (-1; 2)\).

б) \( \begin{cases} x^2 + 4x - 5 > 0,\\ x^2 - 2x - 8 < 0 \end{cases} \)

1) \(x^2 + 4x - 5 > 0\)

\(y = x^2 + 4x - 5\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 4x - 5 = 0\)

\(D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = \)

\(=16 + 20 = 36 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{36} = 6\).

\(x_1=\frac{-4 + 6}{2\cdot 1} = \frac{2}{2} =1\).

\(x_2=\frac{-4 - 6}{2\cdot 1} = \frac{-10}{2} =-5\).

2) \(x^2 - 2x - 8 < 0\)

\(y = x^2 - 2x - 8 \) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 2x - 8 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8) = \)

\(=4 + 32 = 36 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{36} = 6\).

\(x_1 = \frac{2 + 6}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{2 - 6}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(x \in (1; 4)\)

Ответ: \(x \in (1; 4)\).

Пояснения:

Решение системы неравенств — это пересечение множеств решений всех неравенств системы. Поэтому после нахождения промежутков для каждого неравенства мы строим их пересечение.

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\), \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство вида \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

а) \(x^{3} + 11x - 108 = 0\)

\(\pm1; \pm2; \pm3; \pm4; \pm6; \dots\) - делители числа 108.

Если \(x= 1\), то

\(1^{3} + 11\cdot1 - 108 = 0\)

\(1 + 11 - 108 = 0\)

\(-96 = 0\) - неверно.

Если \(x= 2\), то

\(2^{3} + 11\cdot2 - 108 = 0\)

\(8 + 22 - 108 = 0\)

\(-78 = 0\) - неверно.

Если \(x= 3\), то

\(3^{3} + 11\cdot3 - 108 = 0\)

\(27 + 33 - 108 = 0\)

\(-48 = 0\) - неверно.

Если \(x = 4\), то

\( 4^{3} + 11\cdot 4 - 108 = 0\)

\(64 + 44 - 108 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = 4\) — корень уравнения.

\(x^{3} = -11x + 108 \)

\(y = x^3\) - возрастающая функция.

\(y = -11x + 108 \) - убывающая функция.

\(x = 4\) - единственный корень.

Ответ: \(x = 4\).

б) \(x^{5} + 6x + 44 = 0\)

\(\pm1; \pm2; \pm4; \dots\) - делители числа 44.

Если \(x = -1\), то

\((-1)^{5} + 6\cdot(-1) + 44 = 0\)

\(-1 - 6 + 44 = 0\)

\(37 = 0\) - неверно.

Если \(x = -2\), то

\( (-2)^{5} + 6(-2) + 44 =0\)

\(-32 - 12 + 44 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = -2\) — корень уравнения.

\(x^{5} = -6x - 44\)

\(y = x^5\) - возрастающая функция.

\(y = -6x - 44\) - убывающая функция.

\(x = -2\) — единственный корень.

Ответ: \(x = -2\).

Пояснения:

Для многочленов с целыми коэффициентами часто ищут целые корни среди делителей свободного члена.

В каждом случае определили целый корень из делителей свободного члена, а затем каждое уравнение представили в виде равенства двух функций, одна из которых является возрастающей, а другая - убывающей. Возрастающая и убывающая функции могут пресекаться только в одной точке, а это говорит о том, что рассматриваемые уравнения имеют единственный корень, который мы нашли среди делителей свободного члена.