Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№196 учебника 2023-2026 (стр. 69):
Какие преобразования надо выполнить, чтобы:
а) из графика функции \(y=x^{3}\) получить графики функций \(y=-x^{3}\), \(y=(x-3)^{3}\), \(y=x^{3}+4\);
б) из графика функции \(y=\sqrt{x}\) получить графики функций \(y=-\sqrt{x}\), \(y=\sqrt{x+5}\), \(y=\sqrt{x}-1\)?
№196 учебника 2014-2022 (стр. 67):
Представьте:
а) в виде квадрата \( (x > 0): \; x^6, \; x^5, \; x^{-8}, \; x^{-1}, \; x, \; x^{\frac{1}{3}}; \)
б) в виде куба \( (y > 0): \; y^6, \; y^7, \; y, \; y^{\frac{1}{2}}, \; y^{-1{,}5}, \; y^{0{,}2}, \; y^{-\frac{2}{9}}. \)
№196 учебника 2023-2026 (стр. 69):
Вспомните сдвиги графиков функций вдоль координатных осей и их отражение.
№196 учебника 2014-2022 (стр. 67):
№196 учебника 2023-2026 (стр. 69):
а) \(y=x^{3}\)
1) Чтобы получить график функции \(y=-x^{3}\), нужно отразить график \(y=x^{3}\) относительно оси \(Ox\).
2) Чтобы получить график функции \(y=(x-3)^{3}\), нужно сдвинуть график \(y=x^{3}\) вдоль оси \(x\) вправо на 3 единицы.
3) Чтобы получить график функции \(y=x^{3}+4\), нужно сдвинуть график \(y=x^{3}\) вдоль оси \(y\) вверх на 4 единицы.
б) \(y=\sqrt{x}\)
1) Чтобы получить график функции \(y=-\sqrt{x}\), нужно отразить график \(y=\sqrt{x}\) относительно оси \(Ox\).
2) Чтобы получить график функции \(y=\sqrt{x+5}\), нужно сдвинуть график \(y=\sqrt{x}\) вдоль оси \(x\) влево на 5 единиц.
3) Чтобы получить график функции \(y=\sqrt{x}-1\), нужно сдвинуть график \(y=\sqrt{x}\) вдоль оси \(y\) вниз на 1 единицу:
Пояснения:
1. Горизонтальные сдвиги (вдоль оси \(x\)):
\( y=f(x-m) \) — сдвиг графика функции \( y=f(x)\) вправо на \(m\) единиц, \(y=f(x+m) \) — сдвиг графика функции \( y=f(x)\) влево на \( m\) единиц.
2. Вертикальные сдвиги (вдоль оси \(y\)):
\( y=f(x)+n\) — сдвиг графика функции \( y=f(x)\) вверх на \(n\) единиц, \(y=f(x)-k\) — сдвиг графика функции \( y=f(x)\) вниз на \(n\) единиц.
3. Отражение:
\( y=-f(x) \) — отражение графика функции \( y=f(x)\) относительно оси \(x\).
Эти правила полностью объясняют все преобразования в задаче.
№196 учебника 2014-2022 (стр. 67):
а) \( x^6=x^{3\cdot2}= (x^3)^2 \)
\( x^5 =x^{\frac{5}{2}\cdot2}= (x^{\frac{5}{2}})^2 \)
\( x^{-8} =x^{-4\cdot2}= (x^{-4})^2 \)
\( x^{-1}=x^{-\frac{1}{2}\cdot2} = (x^{-\frac{1}{2}})^2 \)
\( x =x^{\frac{1}{2}\cdot2}= (x^{\frac{1}{2}})^2 \)
\( x^{\frac{1}{3}} =x^{\frac{1}{6}\cdot2}= (x^{\frac{1}{6}})^2 \)
б) \( y^6 =y^{2\cdot3}= (y^2)^3 \)
\( y^7=y^{\frac{7}{3}\cdot3} = (y^{\frac{7}{3}})^3 \)
\( y =y^{\frac{1}{3}\cdot3}= (y^{\frac{1}{3}})^3 \)
\( y^{\frac{1}{2}}=y^{\frac{1}{6}\cdot3} = (y^{\frac{1}{6}})^3 \)
\( y^{-1{,}5} = y^{-\frac{3}{2}} = y^{-\frac{1}{2}\cdot3} = (y^{-\frac{1}{2}})^3 \)
\( y^{0{,}2} = y^{\frac{1}{5}} =y^{\frac{1}{15}\cdot3}= (y^{\frac{1}{15}})^3 \)
\( y^{-\frac{2}{9}} =y^{-\frac{2}{27}\cdot3}= (y^{-\frac{2}{27}})^3 \)
Пояснения:
Основная формула:
\[ (a^k)^n = a^{k \cdot n} \]
Идея решения:
Чтобы представить степень как квадрат, делим показатель на 2.
Чтобы представить как куб, делим показатель на 3.
Пример:
\( y^{-\frac{2}{9}} = (y^{-\frac{2}{27}})^3 \), потому что:
\[ -\frac{2}{27} \cdot 3 = -\frac{2}{9} \]
Таким образом, показатель степени делится на нужное число (2 или 3).
Вернуться к содержанию учебника