Упражнение 52 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(6a(a+1) < (3a+1)(2a+1) + a\)

\(6a(a+1) - ((3a+1)(2a+1) + a)=\)

\(=6a^2+6a - (3a+1)(2a+1) - a=\)

\(=6a^2+6a - (6a^2+3a+2a+1) - a=\)

\(=6a^2+6a - 6a^2-3a-2a-1 - a=\)

\(= -1 < 0\) - верно.

б) \((2p-1)(2p+1) + 3(p+1) > (4p+3)p\)

\((2p-1)(2p+1) + 3(p+1) - (4p+3)p=\)

\(=4p^2 - 1 + 3p+3 -4p^2 - 3p =\)

\(=2 >0\) - верно.

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, мы находили разность левой и правой частей неравенства, а затем учитывали, то что:

1. Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

2. Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Приемы, используемые при преобразованиях:

- умножение многочлена на многочлен:

\[ (x+y)(m+n) = xm + xn + ym + yn; \]

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b \pm c) = ab \pm ac;\)

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2;\)

- раскрытие скобок:

\(-(a - b) = -a + b;\)

- свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n.\)

а) \(0{,}6x^2 - 3{,}6x = 0\)

\[ 0{,}6x(x - 6) = 0. \]

\( 0{,}6x = 0 \)   или   \(x - 6 = 0\)

\(x = 0\)                  \(x = 6 \)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = 6.\)

б) \(x^2 - 5 = 0\)

\( x^2 = 5\)

\(x = \pm\sqrt{5}\)

Ответ: \(x = \pm\sqrt{5}.\)

в) \(2x^2 + 17x = 0\)

\( x(2x + 17) = 0\)

\( x = 0 \)  или  \(2x + 17 = 0\)

                     \(2x = -17\)

                     \( x = -\frac{17}{2}\)

                     \(x = -8,5\)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = -8,5.\)

г) \(0{,}5x^2 + 9 = 0\)

\( 0{,}5x^2 = -9 \)

\(x^2 = -18\)

Ответ: корней нет.

Пояснения:

1) Уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) решаются вынесением общего множителя \(x\): \[ x(ax + b) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\, x_2 = -\frac{b}{a}. \]

2) Уравнение вида \(x^2 = a\) имеет два корня, если \(a > 0\): \(x = \pm\sqrt{a}\); если \(a < 0\), то действительных корней нет.