Вернуться к содержанию учебника
Докажите неравенство:
а) \(6a(a+1) < (3a+1)(2a+1) + a\);
б) \((2p-1)(2p+1) + 3(p+1) > (4p+3)p\).
Вспомните:
а) \(6a(a+1) < (3a+1)(2a+1) + a\)
\(6a(a+1) - ((3a+1)(2a+1) + a)=\)
\(=6a^2+6a - (3a+1)(2a+1) - a=\)
\(=6a^2+6a - (6a^2+3a+2a+1) - a=\)
\(=6a^2+6a - 6a^2-3a-2a-1 - a=\)
\(= -1 < 0\) - верно.
б) \((2p-1)(2p+1) + 3(p+1) > (4p+3)p\)
\((2p-1)(2p+1) + 3(p+1) - (4p+3)p=\)
\(=4p^2 - 1 + 3p+3 -4p^2 - 3p =\)
\(=2 >0\) - верно.
Пояснения:
Чтобы выполнить доказательство, мы находили разность левой и правой частей неравенства, а затем учитывали, то что:
1. Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).
2. Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).
Приемы, используемые при преобразованиях:
- умножение многочлена на многочлен:
\[ (x+y)(m+n) = xm + xn + ym + yn; \]
- умножение одночлена на многочлен:
\(a(b \pm c) = ab \pm ac;\)
- разность квадратов двух выражений:
\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2;\)
- раскрытие скобок:
\(-(a - b) = -a + b;\)
- свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n.\)
Вернуться к содержанию учебника