Упражнение 1091 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Судя по графику, изменение уровня воды можно описать по промежуткам времени:

1) Первые два дня уровень воды плавно повышается на 1,5 дм (медленный рост).

2) Затем был резкий подъём уровня воды к концу 5-го дня уровень достиг примерно \(6\) дм.

3) Далее подъём замедляется и достигается максимальный уровень на 6 день (примерно \(6,25\) дм)

4) После чего до конца показанного интервала уровень понижается и к 12 дню он равен 4 дм.

Пояснения:

Как читать график. По горизонтальной оси откладывается время \(t\) (сутки), по вертикальной — уровень воды \(h\) (дециметры). Рост графика слева направо означает повышение уровня, горизонтальные участки — постоянный уровень, убывание — снижение уровня.

Итак, уровень воды сначала повышался (с ускорением до 4 дня, затем медленнее до 6 дня, достигнув максимума), а после приблизительно начал понижаться.

а) \( \frac{2^{m}\,3^{\,n-1}-2^{\,m-1}\,3^{n}}{2^{m}\,3^{n}} =\)

\( \frac{2^{m}\cdot3^{\,n}\cdot3^{-1}-2^{\,m}\cdot2^{-1}\cdot3^{n}}{2^{m}\,3^{n}} =\)

\(=\frac{\cancel{2^{m}}\cdot\cancel{3^{\,n}}\cdot(3^{-1}-2^{-1})}{\cancel{2^{m}}\cdot\cancel{3^{n}}} =\)

\(=3^{-1}-2^{-1} = \dfrac13 ^{\color{blue}{\backslash2}} -\dfrac12 ^{\color{blue}{\backslash3}} =\)

\(=\dfrac26 - \dfrac36 = -\dfrac16\).

б) \( \frac{5^{\,n+1}\cdot2^{\,n-2}+5^{\,n-2}\cdot2^{\,n-1}}{10^{\,n-2}} =\)

\(= \frac{5^{\,n-2+3}\cdot2^{\,n-2}+5^{\,n-2}\cdot2^{\,n-2+1}}{(2\cdot5)^{\,n-2}} =\)

\(= \frac{5^{\,n-2}\cdot5^3\cdot2^{\,n-2}+5^{\,n-2}\cdot2^{\,n-2}\cdot2}{2^{\,n-2}\cdot5^{\,n-2}} =\)

\(=\frac{\cancel{2^{\,n-2}}\cdot\cancel{5^{\,n-2}}\cdot\!\left(5^{3}+2\right)}{\cancel{2^{\,n-2}}\cdot\cancel{5^{\,n-2}}} =\)

\(=5^3 + 2 = 125 + 2 = 127\)

в) \( \frac{5^{m}4^{n}}{5^{\,m-2}2^{\,2n}+5^{m}2^{\,2n-1}} =\)

\(= \frac{5^{m}2^{2n}}{5^{\,m}5^{-2}2^{\,2n}+5^{m}2^{\,2n}2^{-1}} =\)

\(=\frac{\cancel{5^{m}2^{\,2n}}}{\cancel{5^{\,m}2^{\,2n}}\!\left(5^{-2}+2^{-1}\right)} = \)

\(=\dfrac{1}{5^{-2} + 2^{-1}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{5^{2}} + \dfrac{1}{2}} =\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{1}{25} ^{\color{blue}{\backslash2}} + \dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash25}} } =\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{2}{50} + \dfrac{25}{50}} =\dfrac{1}{\dfrac{27}{50}} =\dfrac{50}{27}=1\dfrac{23}{27}\)

г) \( \frac{21^{n}}{3^{\,n-1}7^{\,n+1}+3^{n}7^{n}} =\)

\( \frac{21^{n}}{3^{\,n}3^{-1}7^{\,n}7+3^{n}7^{n}} =\)

\(=\frac{\cancel{3^{n}7^{n}}}{\cancel{3^{\,n}7^{n}}\!(3^{-1}\cdot7+1)} =\)

\(=\frac{1}{3^{-1}\cdot7+1} =\frac{1}{\dfrac13\cdot7+1} =\)

\(=\frac{1}{\dfrac73+\dfrac33} =\frac{1}{\dfrac{10}{3}} =\dfrac{3}{10} =0,3\)

Пояснения:

Использованы свойства степеней:

• \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\);
• \((ab)^m = a^mb^m\);
• \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\);
• При вынесении общего множителя \(a^n\) применяется распределительный закон: \[a^n(b + c) = a^n b + a^n c;\]
• \(\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{b}{a}\).