Упражнение 976 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 2x - 12 > 0, \\ 3x > 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x > 12,   / : 2 \\ 3x > 9    / : 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > 6, \\ x > 3 \end{cases}\)

Ответ: \((6; +\infty)\).

б) \(\begin{cases} 4y < -4,  / : 4\\ 5 - y > 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y < -1, \\ y < 5 \end{cases}\)

Ответ: \((-\infty; -1)\).

в) \(\begin{cases} 3x - 10 < 0, \\ 2x > 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x < 10,  / : 3 \\ 2x > 0   / : 2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{10}{3}, \\ x > 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 3\frac{1}{3}, \\ x > 0 \end{cases}\)

Ответ: \((0; 3\frac{1}{3})\).

г) \(\begin{cases} 6y \geq 42, \\ 4y + 12 \leq 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6y \geq 42,  / : 6 \\ 4y \leq -12   / : 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y \geq \frac{42}{6}, \\ y \leq -\frac{12}{4} \end{cases}\)

\(\begin{cases} y \geq 7, \\ y \leq -3 \end{cases}\)

Ответ: решений нет.

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(8 \cdot 4^{-3} = 8 \cdot \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{\cancel8^{\color{red}{1}}}{\cancel{64}_{\color{red}{8}}} = \dfrac{1}{8}\)

б) \(-2 \cdot 10^{-5} = -2 \cdot \dfrac{1}{10^5} =\)

\(=-\dfrac{2}{100000} = -0{,}00002\)

в) \(18 \cdot (-9)^{-1} = 18 \cdot \dfrac{1}{-9} = \)

\(=-\dfrac{18}{9}= -2\)

г) \(10 \cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right)^{-1} = 10 \cdot \left(-5\right) = -50\)

д) \(3^{-2} + 4^{-1} = \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4} =\)

\(=\dfrac{1}{9}^{\color{blue}{\backslash4}} + \dfrac{1}{4}^{\color{blue}{\backslash9}} = \dfrac{4}{36} +\dfrac{9}{36}= \dfrac{13}{36}\)

е) \(2^{-3} - (-2)^{-4} = \dfrac{1}{2^3} - \dfrac{1}{(-2)^4} =\)

\(=\dfrac{1}{8}^{\color{blue}{\backslash2}} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{2}{16} - \dfrac{1}{16}= \dfrac{1}{16}\)

ж) \(0{,}5^{-2} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} + 3 =\)

\(=2^2 + 3 = 4 + 3 = 7\)

з) \(0{,}3^0 + 0{,}1^{-4} = 1 + (\dfrac{1}{10})^{-4} = \)

\(=1 + 10^4 = 1 + 10000 = 10001\)

Пояснения:

Основные правила степеней:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad (-a)^{-n} = \frac{1}{(-a)^n},\)

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}, \quad a^0 = 1. \)

1. Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть и показатель степени сделать положительным.

2. Если основание отрицательное, знак в результате зависит от чётности степени (при чётной — результат положительный, при нечётной — отрицательный).

3. Нулевая степень любого ненулевого числа равна 1.