Упражнение 858 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x^2 - 10x + 25}{35 - 7x} =\)

\(=\frac{(x-5)^2}{7(5-x)} =\frac{(5-x)^{\cancel2}}{7\cancel{(5-x)}}=\)

\(=\frac{5-x}{7}. \)

б) \( \frac{4x^2 - 12x + 9}{(3 - 2x)^2} = \)

\(=\frac{(2x-3)^2}{(2x-3)^2} = 1.\)

Пояснения:

Для сокращения дробей нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

В примере а) числитель является квадратом двучлена \((x-5)^2\), а в знаменателе вынесли за скобку общий множитель: \(35 - 7x = 7(5-x)\). Также учли то, что

\((x-5)^2 = (5-x)^2\).

Сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя \(5-x\), получили \(\frac{5-x}{7}. \)

В примере б) числитель — полный квадрат \((2x-3)^2\). Знаменатель

\((3-2x)^2= (2x-3)^2\). Сократили дробь на общий множитель числителя и знаменателя \((2x-3)^2\), получили \(1\).

\(y = 2x + 13\)

1) \(2x + 13 > 0\)

\(2x > -13\)   \(/ : 2\)

\(x > -\dfrac{13}{2}\)

\(x > -6,5\)

2) \(2x + 13 < 0\)

\(2x < -13\)   \(/ : 2\)

\(x < -\dfrac{13}{2}\)

\(x < -6,5\)

Ответ: при \(x > -6,5\) функция принимает положительные значения, при \(x < -6,5\) функция принимает отрицательные значения.

Пояснения:

Функция \(y = 2x + 13\) является линейной функцией с угловым коэффициентом \(k = 2 > 0\). Это означает, что её график — прямая, которая возрастает.

Чтобы найти, при каких \(x\) значения функции положительны или отрицательны, нужно решить неравенства относительно нуля:

\(y > 0\), то есть \(2x + 13 > 0,\)

\(y < 0 \), то есть \(2x + 13 < 0.\)

Из первого условия получили:

\(x > -6,5\).

Это значит, что функция положительна для всех \(x\), которые больше \(-6,5\).

Из второго условия получили:

\(x < -6,5\).

Это значит, что функция отрицательна для всех \(x\), которые меньше \(-6,5\).

В точке \(x = -\dfrac{13}{2}\) функция принимает нулевое значение \(y=0\).