Упражнение 780 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[x^2 - 8x + k = 0\]

\(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения.

\(3x_1 + 4x_2 = 29\)

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = 8, \quad x_1 x_2 = k. \]

Составим систему:

\( \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 = 29 \\ x_1 + x_2 = 8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3(8 - x_2) + 4x_2 = 29 \\ x_1 = 8 - x_2 \end{cases} \)

\(3(8 - x_2) + 4x_2 = 29\)

\(24 - 3x_2 + 4x_2 = 29\)

\(x_2 = 29 - 24\)

\(x_2 = 5\)

\( x_1 = 8 - 5 = 3\)

\( k = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15. \)

Ответ: \(k = 15.\)

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета:

\(x_1+x_2=8\), \(x_1x_2=k\).

Учитывая то, что \(3x_1+4x_2=29\) составили систему уравнений:

\( \begin{cases} 3x_1 + 4x_2 = 29 \\ x_1 + x_2 = 8 \end{cases} \)

Решили систему способом подстановки и нашли \(x_1\) и \(x_2\).

После этого использовали произведение корней для нахождения \(k\).

\( \left(\frac{8x}{16 - 9x^2} + \frac{x}{3x - 4}\right) : \left(1 ^{\color{blue}{\backslash4+3x}} - \frac{4 - 3x}{4 + 3x}\right)=\)

\( =\left(\frac{8x}{(4-3x)(4+3x)} - \frac{x}{4-3x}^{\color{blue}{\backslash4+3x}}\right) : \frac{(4+3x)-(4 - 3x)}{4 + 3x}=\)

\(=\frac{8x - x(4+3x)}{(4-3x)(4+3x)} : \frac{4+3x-4 + 3x}{4 + 3x}=\)

\(=\frac{8x - 4x - 3x^2}{(4-3x)(4+3x)} : \frac{6x}{4 + 3x}=\)

\(=\frac{4x - 3x^2}{(4-3x)\cancel{(4+3x)}} \cdot \frac{\cancel{4+3x}}{6x}=\)

\(=\frac{\cancel x\cancel{(4 - 3x)}}{\cancel{(4-3x)}} \cdot \frac{1}{6\cancel x}=\frac16\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).