Упражнение 771 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[4x^2 + bx - 27 = 0\]

\(a =3\),  \(b - ?\),  \(c = 10\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\( \frac{x_1}{x_2} = -3\), тогда \(x_1 = -3x_2\).

По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{-27}{4}. \)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} -3x_2 + x_2 = -\tfrac{b}{4} \\ -3x_2 \cdot x_2 = \frac{-27}{4} \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x_2 = -\tfrac{b}{4}     /\times4 \\ -3x_2^2= \frac{-27}{4}   /\times4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -8x_2 = -b \\ -12x_2^2= -27 \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2^2 =\frac{-27}{-12} \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2^2 =\frac{9}{4} \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2 =\pm\sqrt{\frac{9}{4}} \end{cases} \)

\( \begin{cases} b=8x_2 \\ x_2 =\pm\frac{3}{2} \end{cases} \)

Если \(x_2 =\frac{3}{2}\), то

\(b=-^4\cancel8\cdot\frac{3}{\cancel2} =-12 \)

Если \(x_2 =-\frac{3}{2}\), то

\(b=-^4\cancel8\cdot(-\frac{3}{\cancel2}) =12 \)

Ответ: \(b = -12\) или \(b = 12.\)

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \]

Так как частное корней равно \(-3\), получили зависимость \(x_1 = -3x_2\). Учитывая это, составили систему уравнения и решили ее способом подстановки. Нашли два возможных значения коэффициента \(b\): \(12\) и \(-12\).

а) \(2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}3\) и \(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\)

\(2{,}4 + 2{,}2 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 2{,}5 + 2{,}3\)

\(4{,}6 < \sqrt{6} + \sqrt{5} < 4{,}8.\)

б) \(2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}3\) и \(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\)

\(\sqrt{6} - \sqrt{5} = \sqrt{6} + (-\sqrt{5})\)

\(-2{,}3 < -\sqrt{5} < -2{,}2\)

\(2{,}4 + (-2{,}3) < \sqrt{6} + (-\sqrt{5}) < 2{,}5 + (-2{,}2)\)

\(0{,}1 < \sqrt{6} - \sqrt{5} < 0{,}3.\)

Пояснения:

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:

\(a - b = a + (-b)\).

Свойство числовых неравенств:

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.