Упражнение 741 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( x^2-(4k+1)x+2(2k^2+k-3)=0 \)

\( x^2-(4k+1)x+4k^2+2k-6=0 \)

\( a=1, \quad b=-(4k+1)\),

\(c=4k^2+2k-6 \).

\( D=b^2-4ac=(4k+1)^2-4(4k^2+2k-6) =\)

\(=\cancel{16k^2}+\cancel{8k}+1-\cancel{16k^2}-\cancel{8k}+24=\)

\(=1 + 24 = 25>0 \)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{4k+1-5}{2\cdot1}=\frac{4k-4}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(2k-2)}{\cancel2}=2k-2 \)

\( x_2=\frac{4k+1+5}{2\cdot1}=\frac{4k+6}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(2k+3)}{\cancel2}=2k+3 \)

Ответ: \( x_1=2k-2\), \( x_2=2k+3\) для любого \( k. \)

Пояснения:

Уравнение квадратное, дискриминант оказался постоянным (\(D=25\)) и положительным. Это значит, что для любого значения параметра \(k\) уравнение имеет два корня, которые выражаются линейно через \(k\).

\(0; \; 1; \; 2; \; 3.\)

\( k, \; k+1, \; k+2, \; k+3\)

\(k(k+3) - (k+1)(k+2) =\)

\(=k^2 + 3k -(k^2 +2k + k + 2)=\)

\(=k^2 + 3k -(k^2 +3k + 2)=\)

\(=k^2 + 3k -k^2 -3k - 2=\)

\(=-2 < 0\) - верно при любом \(k\), поэтому

\(k(k+3) <(k+1)(k+2)\)

Ответ: произведение крайних членов меньше произведения средних членов.

Пояснения:

При сравнении произведений учли то, что:

если \(a - b < 0\), то \(a < b\);

если \(a - b > 0\), то \(a > b\).