Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№736 учебника 2023-2025 (стр. 174):
Решите уравнение с параметром \(b\):
\[ 2x^2-4x+b=0 \]№736 учебника 2013-2022 (стр. 164):
Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
а) \(a^2 - 6a + 14 > 0\);
б) \(b^2 + 70 > 16b\).
№736 учебника 2023-2025 (стр. 174):
Вспомните:
№736 учебника 2013-2022 (стр. 164):
Вспомните:
№736 учебника 2023-2025 (стр. 174):
\(2x^2-4x+b=0 \)
\( D=(-4)^2-4\cdot 2 \cdot b=16-8b \)
1 случай:
Если \(D>0\), то уравнение имеет 2 корня.
\(16 - 8b > 0\)
\(8b < 16\)
\(b< \frac{16}{8}\)
\(b<2\)
\( x_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16-8b}}{2\cdot 2}= \)
\(=\frac{4\pm \sqrt{4(4-2b)}}{4}=\)
\(=\frac{4\pm 2\sqrt{4-2b}}{4} = \)
\(=\frac{\cancel2(2\pm \sqrt{4-2b})}{\cancel4_2} = \)
\(=\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2} \), при \(b<2\).
2 случай:
Если \(D=0\), то уравнение имеет 1 корень.
\(16 - 8b = 0\)
\(8b = 16\)
\(b = \frac{16}{8}\)
\(b = 2\)
\(x = -\frac{-4}{2\cdot2} = \frac44 = 1\).
3 случай:
Если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
\(16 - 8b < 0\)
\(8b > 16\)
\(b > \frac{16}{8}\)
\(b > 2\)
Ответ: при \(b<2\): \(x_{1,2}==\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2} \); при \(b=2\): \(x=1\); при \(b>2\): корней нет.
Пояснения:
Количество корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Анализируя знак дискриминанта, получаем три случая: два корня, один корень или отсутствие корней.
При извлечении корня из дискриминанта использовали следующие приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ka + kb = k (a + b)\);
- свойство корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b\).
№736 учебника 2013-2022 (стр. 164):
а) \(a^2 - 6a + 14 > 0\)
\( a^2 - 6a + 14 =\)
\(=(a^2 - 6a + 9) + 5 =\)
\(=(a-3)^2 + 5\).
\((a-3)^2 \geq 0\), то
\((a-3)^2 + 5 > 0\) при любом \(a\).
б) \(b^2 + 70 > 16b\)
\(b^2 + 70 - 16b=\)
\(= (b^2 - 16b + 64) + 6 =\)
\(=(b-8)^2 + 6\).
\((b-8)^2 \geq 0\), то
\((b-8)^2 + 6 > 0\) при любом \(b\).
Пояснения:
При выделении квадрата двучлена опирались на формулу квадрата разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Чтобы доказать неравенство, в пункте а) выделили квадрат двучлена в левой части неравенства и установили верность неравенства.
Чтобы доказать неравенство, в пункте б) использовали то, что если \(a - b > 0\), то \(a > b\), то есть нашли разность левой и правой части неравенства, выделив при этом квадрат двучлена и установили верность неравенства.
Вернуться к содержанию учебника