Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№653 учебника 2023-2025 (стр. 153):
В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали \(192\) ц пшеницы. В этом году благодаря использованию новых технологий удалось повысить урожайность пшеницы на \(2\) ц с гектара. В результате такой же урожай собрали с площади на \(0{,}4\) га меньшей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году?
№653 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Используя выделение квадрата двучлена:
а) докажите, что наименьшим значением выражения \(x^2-8x+27\) является число 11;
б) найдите наименьшее значение выражения \(a^2-4a+20\).
№653 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Вспомните.
№653 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Вспомните:
№653 учебника 2023-2025 (стр. 153):
| Масса пшеницы, кг | Урожайность, ц/га | Площадь, га | |
| В прошлом году | \(120\) | \(x\) | \(\frac{192}{x}\) |
| В этом году | \(x + 2\) | \(\frac{192}{x+2}\) |
Составим уравнение:
\(\frac{192}{x}-\frac{192}{x+2}=0{,}4\) \(/\times x(x+2)\)
ОДЗ: \(x \neq0\) и \( x + 2 \neq0\)
\(x \neq -2\)
\(192(x+2) -192x = 0,4x(x+2)\)
\(\cancel{192x}+384 -\cancel{192x} = 0,4x^2 +0,8x\)
\(0,4x^2 +0,8x -384 = 0\) \(/ : 0,4\)
\(x^2+2x-960=0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -960\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=2^2-4\cdot1\cdot(-960)=\)
\(=4 + 3840=3844\), \(\sqrt D = 62\).
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
\( x_1 = \frac{-2+62}{2\cdot1}=\frac{60}{2}=30\).
\( x_2 = \frac{-2-62}{2\cdot1}=\frac{-64}{2}=-32\) - удовлетворяет условию (\(x>0\)).
Ответ: урожайность пшеницы в прошлом году 30 ц/га.
Пояснения:
1) Урожай \(=\) урожайность \(\times\) площадь. Поэтому площади выражены как \(\frac{\text{урожай}}{\text{урожайность}}\).
2) Условие «площадь стала меньше на \(0{,}4\) га» дает дробное рациональное уравнение:
\([ \frac{192}{x}-\frac{192}{x+2}=0{,}4. \)
Алгоритм решения дробного рационального уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение
\(x^2+2x-960=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:
\(x_1 = 30\) и \(x_2 = -32\).
Отрицательный корень не подходит, так как урожайность не может быть отрицательным числом.
Значит, урожайность пшеницы в прошлом году 30 ц/га.
№653 учебника 2013-2022 (стр. 152):
а) \( x^2-8x+27=\)
\(=(x^2-8x+16)+11=\)
\(=(x-4)^2+11 \)
\((x-4)^2\geq 0\), то наименьшее значение выражения равно 11 при \(x=4\).
Что и требовалось доказать.
б) \( a^2-4a+20=\)
\(=(a^2-4a+4)+16=\)
\(=(a-2)^2+16 \)
\((a-2)^2\geq 0\), то наименьшее значение выражения равно 16 при \(a=2\).
Ответ: наименьшее значение выражения равно 16.
Пояснения:
При выделении полного квадрата трёхчлена мы приводим выражение к виду \((a-b)^2+c\). Квадрат всегда неотрицателен, поэтому минимальное значение достигается тогда, когда квадрат равен нулю, а само выражение равно постоянному слагаемому.
Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Вернуться к содержанию учебника