Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№641 учебника 2023-2025 (стр. 150):
(Для работы в парах.) Решите уравнение:
а) \(1+\frac{1}{\,3+\frac{1}{\,2+\frac{1}{\,5-x^{2}\,}\,}\,}=1\frac{7}{24};\)
б) \(1-\frac{1}{\,2+\frac{1}{\,1+\frac{1}{\,10-x^{2}\,}\,}\,}=\frac{3}{5}.\)
1) Обсудите, какие преобразования и в какой последовательности надо выполнить, чтобы найти корни уравнения.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли решено уравнение.
№641 учебника 2013-2022 (стр. 150):
Решите относительно \(y\) уравнение:
а) \(py-p-1=0\);
б) \(py-3y-4p+12=0\).
№641 учебника 2023-2025 (стр. 150):
Вспомните.
№641 учебника 2013-2022 (стр. 150):
Вспомните:
№641 учебника 2023-2025 (стр. 150):
а) \( 1+\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=1\frac{7}{24} \)
\(\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=1\frac{7}{24} - 1 \)
\(\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=\frac{7}{24}\)
\(\frac{1}{3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}}=\frac{7}{24}\)
\(3+\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}=\frac{24}{7} \)
\(\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}=3\frac{3}{7}-3 \)
\(\frac{1}{2 +\frac{1}{5-x^{2}}}=\frac{3}{7}\)
\(2 +\frac{1}{5-x^{2}}= \frac{7}{3}\)
\(\frac{1}{5-x^{2}}= 2\frac{1}{3}-2\)
\(\frac{1}{5-x^{2}}= \frac{1}{3}\) \(/\times 3(5-x^2)\)
ОДЗ: \(5-x^2 \neq0\)
\( x^2 \neq 5\)
\(x\neq\pm\sqrt5\)
\(3 = 5 - x^2\)
\(x^2 = 5- 3\)
\(x^2 = 2\)
\(x = \pm\sqrt2\)
Ответ: \(\sqrt2; -\sqrt2\).
б) \( 1-\frac{1}{2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}}=\frac{3}{5} \)
\( \frac{1}{2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}}=1-\frac{3}{5} \)
\( \frac{1}{2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}}=\frac{2}{5} \)
\(2+\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}= \frac{5}{2} \)
\(\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}= 2\frac{1}{2} -2\)
\(\frac{1}{1 +\frac{1}{10-x^{2}}}= \frac{1}{2}\)
\(1 +\frac{1}{10-x^{2}}=2\)
\(\frac{1}{10-x^{2}}=2-1\)
\(\frac{1}{10-x^{2}}=1\) \(/\times (10-x^2)\)
ОДЗ: \(10-x^2 \neq0\)
\( x^2 \neq 10\)
\(x\neq\pm\sqrt{10}\)
\(1=10-x^2\)
\(x^2=10-1\)
\(x^2 = 9\)
\(x = \pm\sqrt9\)
\(x = \pm3\)
Ответ: \(3; -3\).
Пояснения:
Поэтапно использовали следующее свойство:
если \(\dfrac{1}{A}=k\) (при \(A\neq0\)), то \(A=\dfrac{1}{k}\).
В результате получили дробное рациональное уравнение, которое решают по следующему алгоритму:
Алгоритм решения уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
После преобразований получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).
№641 учебника 2013-2022 (стр. 150):
а) \( py-p-1=0 \)
\( py=p+1 \)
1 случай:
Если \(p\neq0\), то
\( y=\frac{p+1}{p} \)
2 случай:
Если \(p=0\), то
\(0y = 0 +1\)
\(0y = 1\) - неверно.
Ответ: если \(p\neq 0\), то \( y=\frac{p+1}{p} \); если \(p=0\), то решений нет.
б) \( py-3y-4p+12=0 \)
\((p-3)y-4p+12=0 \)
\( (p-3)y=4p-12 \)
Если \(p-3\neq 0\), то есть \(p\neq3\):
\( y=\frac{4p-12}{p-3} \)
\( y=\frac{4\cancel{(p-3)}}{\cancel{p-3}} \)
\(y = 4\)
Если \(p-3= 0\), то есть \(p=3\):
\( 0y=4\cdot3-12 \)
\(0y = 12-12\)
\(0y = 0\) - верно при любом \(y\).
Ответ: если \(p\neq 3\), то \(y=4\); если \(p=3\), то \(y\) — любое число.
Пояснения:
В обоих случаях мы выделили множитель при \(y\), чтобы выразить его через параметр \(p\), и получили линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен от нуля коэффициент при \(y\) или равен нулю.
Вернуться к содержанию учебника