Упражнение 596 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Гипотенуза относится к катету как \(\frac{13}{12}\). Пусть \(x\) см приходится на одну часть, тогда гипотенуза равна \(13x\) см, а один из катетов - \(12x\) см. Второй катет равен 15 см.

По теорем Пифагора составим уравнение:

\((12x)^2 + 15^2 = (13x)^2\)

\(144x^2 + 225 = 169x^2\)

\(144x^2 - 169x^2 = -225\)

\(-25x^2 = -225\)

\(25x^2 = 225\)

\(x^2 = \frac{225}{25}\)

\(x^2 = 9\)

\(x_1 = -\sqrt 9 = -3\) - не удовлетворяет условию \((x > 0)\).

\(x_2 = \sqrt 9 = 3\)

1) \(13\cdot3 = 39\) (см) - гипотенуза.

2) \(12\cdot3 = 36\) (см) - первый катет.

3) \(P=36+15+39=90\) (см)

Ответ: периметр треугольника равен 90 см.

Пояснения:

Используемые приемы:

1) Гипотенуза прямоугольного треугольника относится к катету как \(\frac{13}{12}\). Пусть \(x\) см приходится на одну часть, тогда гипотенуза равна \(13x\) см, а один из катетов - \(12x\) см.

2) Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. По условию второй катет равен \(15\) см. Тогда можем составить следующее уравнение:

\((12x)^2 + 15^2 = (13x)^2\),

откуда, выполнив преобразования, получим неполное квадратное уравнение:

\(25x^2 = 225\).

Полученное уравнение имеет два корня:

\(x_1 = -3\) и \(x_2 = \sqrt 9 = 3\).

Отрицательный корень не подходит, так как длина может быть только положительным числом.

Далее, используя положительный корень, находим гипотенузу и катет прямоугольного треугольника.

3) Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон.

а) \((3x+1)^2=3x+1\)

\(9x^2 + 6x + 1 - 3x -1 = 0\)

\(9x^2 + 3x= 0\)

\(x(9x+3)=0\)

\(x = 0\)   или   \(9x + 3 = 0\)

                       \(9x = -3\)

                       \(x = -\frac39\)

                       \(x = -\frac13\)

Ответ: \(0;  -\frac13\).

б) \((3x+1)^2=3(x+1)\)

\(9x^2+6x+1 = 3x + 3\)

\(9x^2 + 6x + 1 - 3x - 3 = 0\)

\(9x^2 +3x -2 = 0\)

\(a = 9\),  \(b = 3\),  \(c = -2\)

\(D=b^2 - 4ac = 3^2 - 4\cdot9\cdot(-2) =\)

\(=9 + 72 = 81\);   \(\sqrt{81} = 9\).

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-3 + 9}{2\cdot9}=\frac{6}{18} = \frac13\)

\(x_1 = \frac{-3 - 9}{2\cdot9}=\frac{-12}{18} = -\frac23\)

Ответ: \(\frac13;  -\frac23\).

в) \((3x+1)^2=(2x-5)^2\)

\(9x^2 + 6x + 1 = 4x^2 -20x + 25\)

\(9x^2 + 6x + 1 - 4x^2 +20x - 25=0\)

\(5x^2 + 26x -24 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = 26\),  \(c = -24\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=26^2 - 4\cdot5\cdot(-24)=\)

\(=676 + 480 = 1156\);    \(\sqrt D = 34\).

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-26 + 34}{2\cdot5}=\frac{8}{10} = 0,8\)

\(x_2 = \frac{-26 - 34}{2\cdot5}=\frac{-60}{10} = -6\)

Ответ: \(0,8;  -6\).

г) \((3x+4)^2=4(x+3)\)

\( 9x^2+24x+16=4x+12\)

\( 9x^2+24x+16-4x-12=0\)

\(9x^2+20x+4=0\)

\(a = 9\),  \(b = 20\),  \(c = 4\)

\(D=b^2 - 4ac =20^2-4\cdot9\cdot4=\)

\(=400 - 144=256\);    \(\sqrt D=16.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-20 + 16}{2\cdot9}=\frac{-4}{18} = -\frac29\)

\(x_2 = \frac{-20 - 16}{2\cdot9}=\frac{-36}{18} = -2\)

Ответ: \(-\frac29;  -2\).

д) \(4(x+3)^2=(2x+6)^2\)

\(4(x^2+6x+9)=4x^2+24x + 36\)

\(4x^2 + 24x +36 - 4x^2-24x-36=0\)

\(0=0\)

Ответ: \(x\) - любое число.

е) \((6x+3)^2=(x-4)^2\)

\(36x^2 + 36x + 9 = x^2-8x + 16\)

\(36x^2 + 36x + 9 - x^2+8x - 16=0\)

\(35x^2 + 44x -7=0\)

(a = 35\),  \(b = 44\),  \(c = -7\)

\(D=b^2 - 4ac =\)

\(=44^2 - 4\cdot35\cdot(-7)=\)

\(=1936 + 980 = 2916\);   \(\sqrt D = 54\).

\(x_{1,2} = \frac{-b + \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-44 + 54}{2\cdot35}=\frac{10}{70} = \frac17\)

\(x_2 = \frac{-44 - 54}{2\cdot35}=\frac{-98}{70} =\)

\(=-\frac75=-1,4\)

Ответ: \( \frac17;  -1,4\).

Пояснения:

В каждом уравнении сначала раскрываем скобки, переносим слагаемые из правой части уравнения в левую со сменой знаков и приводим подобные слагаемые.

Приемы и формулы, использованные при раскрытии скобок:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Распределительное свойство умножения:

\(k(a + b) = ka = kb\).

- Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

После преобразований в пункте а) получили неполное квадратное уравнение, которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом получается линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

В пункте д) получилось верное тождество, поэтому корнем уравнения может быть любое число.

В пунктах б), в), г), е) получились полные квадратные уравнения. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.