Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№593 учебника 2023-2025 (стр. 136):
(Для работы в парах.) Уравнение \(\;x^{2}+5x+m=0\;\) имеет корни \(x_{1}\) и \(x_{2}\). Найдите, при каком значении \(m\):
а) сумма квадратов корней равна \(35\);
б) сумма кубов корней равна \(40\).
1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и б).
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто - задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.
№593 учебника 2013-2022 (стр. 138):
(Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:
а) \(\;x^{2}+7x-1=0;\)
б) \(\;x^{2}-7x+1=0;\)
в) \(\;5x^{2}+17x+16=0;\)
г) \(\;19x^{2}-23x+5=0;\)
д) \(\;2x^{2}+5\sqrt3\,x+11=0;\)
е) \(\;11x^{2}-9x+7-5\sqrt2=0.\)
1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто - задания б), г), е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.
№593 учебника 2023-2025 (стр. 136):
Вспомните:
№593 учебника 2013-2022 (стр. 138):
Вспомните:
№593 учебника 2023-2025 (стр. 136):
\(x^{2}+5x+m=0\)
\(a = 1\), \(b = 5\), \(c=m\)
\(x_{1}\) и \(x_{2}\) - корни уравнения.
а) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=35\)
\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + 2x_1x_2 - 2x_1x_2=35\)
\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 =35\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_{1}+x_{2}=-5,\)
\(x_{1}x_{2}=m.\)
\((-5)^2 -2m = 35\)
\(25 -2m = 35\)
\(-2m = 35 - 25\)
\(-2m = 10\)
\(m = \frac{10}{-2}\)
\(m = -5\)
Ответ: при \(m = -5\).
б) \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=40\)
\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}-x_1x_2+x_{2}^{2})=40\)
\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+2x_1x_2+x_{2}^{2}- x_1x_2-2x_1x_2 =40\)
\((x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2-3x_1x_2) =40\)
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_{1}+x_{2}=-5,\)
\(x_{1}x_{2}=m.\)
\(-5\cdot((-5)^2 -3m) = 40\) \( / : (-5)\)
\(25 - 3m = -8\)
\(-3m = -8 - 25\)
\(-3m = -33\)
\(m = \frac{-33}{-3}\)
\(m = 11\)
Ответ: при \(m = 11\).
Пояснения:
Для квадратного уравнения
\(ax^2 + bx + c = 0\), корни которого \(x_1\) и \(x_2\) по теореме обратной теореме Виета:
\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \( x_1x_2=\frac{c}{a}. \)
Тогда для уравнения
\(x^{2}+5x+m=0\) имеем:
\(x_{1}+x_{2}=-5,\)
\(x_{1}x_{2}=m.\)
Пункт а):
По условию \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=35\).
Учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, можем записать:
\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2} + 2x_1x_2 - 2x_1x_2=35\).
По формуле квадрата суммы двух выражений
\(x_{1}^{2}+ 2x_1x_2+x_{2}^{2} = (x_1 + x_2)^2 \),
тогда получаем:
\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 =35\).
Учитывая значения суммы и разности корней по теореме обратной теореме Виета (смотри выше), имеем:
\((-5)^2 -2m = 35\), откуда, решив уравнение, находим \(m = -5\).
Пункт б):
По условию \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=40\).
В левой части уравнения применяем формулу суммы кубов двух выражений:
\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}-x_1x_2+x_{2}^{2})=40\)
Учитывая то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, можем записать:
\((x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+2x_1x_2+x_{2}^{2}- x_1x_2-2x_1x_2 =40\).
По формуле квадрата суммы двух выражений
\(x_{1}^{2}+ 2x_1x_2+x_{2}^{2} = (x_1 + x_2)^2 \),
тогда получаем:
\((x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2-3x_1x_2) =40\).
Учитывая значения суммы и разности корней по теореме обратной теореме Виета (смотри выше), имеем:
\(-5\cdot((-5)^2 -3m) = 40\), откуда, решив уравнение, находим \(m = 11\).
№593 учебника 2013-2022 (стр. 138):
а) \(\;x^{2}+7x-1=0\)
\(a = 1\), \(b = 7\), \(c = -1\)
\(D=b^2 - 4ac=7^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=\)
\(=49+4=53>0\) - уравнение имеет 2 корня.
По теореме обратной теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -7 < 0\),
\(x_1\cdot x_2 = -1 < 0\), значит, корни имеют разные знаки.
Ответ: один корень положительный, другой - отрицательный.
б) \(\;x^{2}-7x+1=0\)
\(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 1\)
\(D=b^2 - 4ac=(-7)^{2}-4\cdot1\cdot1=\)
\(=49 - 4=45>0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_1 + x_2 = 7 > 0\),
\(x_1\cdot x_2 = 1 > 0\), значит, оба корня положительны.
Ответ: оба корня положительны.
в) \(\;5x^{2}+17x+16=0\)
\(a = 5\), \(b = 17\), \(c = 16\)
\(D=b^2 - 4ac=17^{2}-4\cdot5\cdot16=\)
\(=289-320=-31<0\) - корней нет.
Ответ: корней нет.
г) \(\;19x^{2}-23x+5=0\)
\(a = 19\), \(b = -23\), \(c = 5\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-23)^{2}-4\cdot19\cdot5=\)
\(=529-380=149>0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_1 + x_2 = \frac{23}{19} > 0\),
\(x_1\cdot x_2 = \frac{5}{19} > 0\), значит, оба корня положительны.
Ответ: оба корня положительны.
д) \(\;2x^{2}+5\sqrt3\,x+11=0\)
\(a = 2\), \(b = 5\sqrt3\), \(c = 11\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(5\sqrt3)^{2}-4\cdot2\cdot11=\)
\(=25\cdot3-88=75-88=-13<0\) - корней нет.
Ответ: корней нет.
е) \(\;11x^{2}-9x+7-5\sqrt2=0\)
\(a = 11\), \(b = -9\), \(c = 7-5\sqrt2\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-9)^{2}-4\cdot11\cdot(7-5\sqrt2)=\)
\(=81-44(7-5\sqrt2)=\)
\(=81 - 308 + 220\sqrt2=\)
\(=220\sqrt2-227>0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_1 + x_2 = \frac{9}{11} > 0\),
\(x_1\cdot x_2 = \frac{7-5\sqrt2}{11} < 0\), значит, корни имеют разные знаки.
Ответ: один корень положительный, другой - отрицательный.
Теорема:
По теореме обратной тереме Виета для квадратного уравнения
\(ax^2 + bx + c=0\), корни которого \(x_1\) и \(x_2\):
\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(x_1x_2=\frac{c}{a}, \)
тогда, если \(x_1x_2<0\), то корни уравнения разных знаков; если \(x_1x_2>0\), то корни уравнения одного знака, который совпадает со знаком суммы \(x_1+x_2\).
Пояснения:
Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня;
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень;
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
Знаки корней удобно получать по теореме обратной теореме Виета:
\( x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \( x_1x_2=\frac{c}{a}. \)
Если \(x_1x_2<0\) — корни разных знаков; если \(x_1x_2>0\) — корни одного знака, который совпадает со знаком суммы \(x_1+x_2\).
Пункт е): без вычисления десятичного значения используем оценку \(\sqrt2>1{,}4\).
Вернуться к содержанию учебника