Упражнение 590 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^{2}-3x+a=0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = a\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2 = 3\)  и  \(x_1\cdot x_2 = a\).

Составим систему:

\( \begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65, \\ x_1+x_2 = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (3-x_2)^{2} + x_{2}^{2} = 65, \\ x_1 = 3 - x_2 \end{cases} \)

\((3-x_2)^{2} + x_{2}^{2} = 65\)

\(9 - 6x_2+x_{2}^{2} +x_{2}^{2} - 65=0\)

\(2x_{2}^{2}-6x_2 -56=0\)     \(/ : 2\)

\(x_{2}^{2}-3x_2 -28=0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = -28\).

\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-28) =\)

\(=9+112 = 121\),    \(\sqrt D = 11\).

\(x_2 = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_2=\frac{-(-3)+11}{2\cdot1} = \frac{14}{2} = 7\)

\(x_2=\frac{-(-3)-11}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\)

Если \(x_2 = 7\), то \(x_1 = 3 - 7 = -4\).

Если \(x_2 = -4\), то \(x_1 = 3 - (-4) = 7\).

\(x_1\cdot x_2 = a\)

\(a = 7\cdot(-4) = -28\)

Ответ: \(a= -28\).

Пояснения:

Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

По условию сумма квадратов корней квадратного уравнения 65, то есть

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65\).

Составляем систему из уравнений суммы корней и суммы квадратов корней:

\( \begin{cases} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 65, \\ x_1+x_2 = 3 \end{cases} \).

Решаем систему способом подстановки. Из второго уравнения выражаем \(x_1\) и подставляем в первое уравнение выражение для \(x_1\). Получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант и находим два значения для \(x_2\). Возвращаемся в выражение для \(x_1\) и находим два значения для \(x_1\):

если \(x_2 = 7\), то \(x_1 = -4\);

если \(x_2 = -4\), то \(x_1 = 7\).

Через произведение корней находим коэффициент \(a = -28\).

\(x^{2}+x+c=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c -?\)

\(x_1 - x_2 = 6\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2 = -1\)  и  \(x_1\cdot x_2 = c\).

Составим систему:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 6,\\ x_1+x_2 = -1 \end{cases} \) \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1 = 5,\\ x_1+x_2 = -1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac52,\\ x_2 = -1 - x_1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 =2,5,\\ x_2 = -1 - 2,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 =2,5,\\ x_2 = -3,5 \end{cases} \)

\(x_1\cdot x_2 = c\)

\(c=2,5\cdot(-3,5) = -8,75\)

Ответ: \(c= -8,75\).

Пояснения:

Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля

\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:

\(x_1 + x_2=-b\),

\(x_1\cdot x_2=c\).

По условию разность корней квадратного уравнения 6, то есть

\(x_1 - x_2 = 6\).

Составляем систему из уравнений суммы и разности корней:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 6,\\ x_1+x_2 = -1 \end{cases} \)

Решаем систему способом сложения и находим значения корней:

\(x_1 = 2,5,   x_2 = -3,5\).

Через произведение корней находим коэффициент \(c = -8,75\).