Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№195 учебника 2023-2025 (стр. 50):
Определите знак числа \(k\), зная, что график функции \(y=\frac{k}{x}\) расположен:
а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвёртой координатных четвертях.
№195 учебника 2013-2022 (стр. 49):
(Задача-исследование.) При каких значениях \(a\) и \(b\) является тождеством равенство
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} \;=\; \frac{a}{x-5} \;+\; \frac{b}{x+2}\,?\)
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите ее.
3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
№195 учебника 2023-2025 (стр. 50):
Вспомните график обратной пропорциональности.
№195 учебника 2013-2022 (стр. 49):
Вспомните:
№195 учебника 2023-2025 (стр. 50):
\(y=\frac{k}{x}\) расположен:
а) в первой и третьей координатных четвертях при \(k > 0\).
б) во второй и четвёртой координатных четвертях при \(k < 0\).
№195 учебника 2013-2022 (стр. 49):
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} ^{\color{blue}{\backslash{x+2}}} + \frac{b}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} \)
\( \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} \)
\( \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{ax+2a + bx-5b}{(x-5)(x+2)} \)
\( \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{(ax + bx) + (2a-5b)}{(x-5)(x+2)} \)
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}= \frac{(a+b)\,x + (2a - 5b)}{(x-5)(x+2)} \)
Составим систему:
\( \begin{cases} a + b = 5, \\ 2a - 5b = 31. \end{cases} \)
\( \begin{cases} a = 5 - b, \\ 2(5-b) - 5b = 31. \end{cases} \)
\( 2(5 - b) - 5b = 31 \)
\( 10 - 2b - 5b = 31 \)
\( -7b = 31 - 10\)
\( -7b = 21 \)
\(b=-\frac{21}{7}\)
\(b = -3, \)
\(a = 5 - (-3) = 5+3 = 8\).
Проверка:
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{8}{x-5}^{\color{blue}{\backslash{x+2}}} + \frac{-3}{x+2}^{\color{blue}{\backslash{x-5}}}\)
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{8(x+2)-3(x-5))}{(x-5)(x+2)} \)
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{8x+16 -3x+15}{(x-5)(x+2)}\)
\(\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)} = \frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}\)
Тождество доказано.
Ответ: \(a = 8,\; b = -3\).
Пояснения:
• Нужно привести сумму дробей в правой части равенства к общему знаменателю и выполнить сложение. Затем, учитывая то, что равенство будет верным, если в числителях коэффициенты при \(x\) и свободные коэффициенты будут равны, составляем систему линейных уравнений для \(a\) и \(b\).
• Решаем систему способом подстановки, находим единственные значения \(a\) и \(b\), при которых данное равенство является тождеством (при всех допустимых \(x\)).
Вернуться к содержанию учебника