Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№198 учебника 2023-2025 (стр. 51):
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:
а) \(\displaystyle \frac{5\,(x - y)^2}{\,(3y - 3x)^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{(\,3x - 6y\,)^2}{4\,\bigl(2y - x\bigr)^2}.\)
№198 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Представьте дробь
\[\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)}\]
в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x + 4\) и \(x - 2\).
№198 учебника 2023-2025 (стр. 51):
Вспомните:
№198 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Вспомните:
№198 учебника 2023-2025 (стр. 51):
а) \( \frac{5\,(x - y)^2}{\,(3y - 3x)^2}=\frac{5\,(x - y)^2}{(-3\cdot(x-y))^2}\)
\(=\frac{5\cancel{(x - y)^2}}{(-3)^2\cdot\cancel{(y - x)^2}}=\frac59\) - при всех допустимых значениях переменных не зависит от значений этих переменных.
б) \(\frac{(\,3x - 6y\,)^2}{4\,\bigl(2y - x\bigr)^2}=\frac{(-3\cdot(2y-x\,))^2}{4\,\bigl(2y - x\bigr)^2}=\)
\(=\frac{(-3)^2\cdot\cancel{(2y-x\,)^2}}{4\cancel{(2y - x)^2}}=\frac94=2\frac14\) - при всех допустимых значениях переменных не зависит от значений этих переменных.
Пояснения:
Использованные приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ka - kb = -k(b-a)\);
- свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\);
- сокращение дробей:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
В пункте а) в знаменателе вынесли общий множитель \((-3)\) за скобки, затем возвели каждый множитель в квадрат, сократили общий множитель числителя и знаменателя.
В пункте б) в числителе вынесли общий множитель \((-3)\) за скобки, затем возвели каждый множитель в квадрат, сократили общий множитель числителя и знаменателя.
№198 учебника 2013-2022 (стр. 52):
Предположим
\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}\)
\(\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}=\)
\(=\frac{a(x-2)}{(x + 4)(x-2)} + \frac{b(x+4)}{(x+4)(x - 2)}=\)
\(=\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x + 4)(x-2)} =\)
\(=\frac{x(a+b)+(4b-2a)}{(x + 4)(x-2)} \)
\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{x(a+b)+(4b-2a)}{(x + 4)(x-2)}\)
\(\begin{cases} a+b = 5,\\ 4b-2a = -1; \end{cases}\)
\(\begin{cases} a= 5-b,\\ 4b-2(5-b) = -1; \end{cases}\)
\(4b-2(5-b) = -1\)
\(4b-10+2b = -1\)
\(6b = -1+10\)
\(6b = 9\)
\(b=\frac{9}{6}\)
\(b=1,5\)
Тогда \(a = 5 - 1,5 =3,5\)
Следовательно,
\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{3,5}{x + 4} + \frac{1,5}{x - 2}\)
Пояснения:
Использованные правила:
Для разложения на простейшие дроби представляют рациональную дробь как сумму дробей с неизвестными числителями, выполняют сложение дробей из правой части равенства. Приравнивают коэффициенты получившихся многочленов в числителях дробей.
Пояснения к шагам:
1. Выражение \(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)}\) представили в виде \(\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}\).
2. Выполнили сложение дробей в правой части уравнения.
3. Раскрыли в числителе скобки и собрали подобные члены, чтобы получить выражение вида \((a+b)x + (4b-2a)\).
4. Составили и решили систему уравнений по сравнению коэффициентов при \(x\) и свободных членов.
5. Получили \(a = 3,5\) и \(b = 1,5\), что и дало окончательное разложение.
Вернуться к содержанию учебника