Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№71 учебника 2023-2025 (стр. 22):
При каких целых значениях \(m\) дробь \[ \frac{(m-1)(m+1) - 10}{m} \] принимает целые значения?
№71 учебника 2013-2022 (стр. 21):
Разложите на множители:
а) \(8x^4 - 16x^3y\);
б) \(15x y^5 + 10y^2\);
в) \(8a^2 - 50y^2\);
г) \(18b^2 - 98a^2\);
д) \(x^3 - 125\);
е) \(y^3 + 8\);
ж) \(ab + 8a + 9b + 72\);
з) \(6m - 12 - 2n + mn\).
№71 учебника 2023-2025 (стр. 22):
Вспомните:
№71 учебника 2013-2022 (стр. 21):
Вспомните:
№71 учебника 2023-2025 (стр. 22):
\(\frac{(m-1)(m+1) - 10}{m}=\)
\(=\frac{m^2 - 1-10}{m} = \frac{m^2 - 11}{m} =\)
\(=\frac{m^2}{m} - \frac{11}{m} = m - \frac{11}{m}. \)
Дробь принимает целые значения при
\(m = -11; -1; 1; 11. \)
Если \(m = -11\), то
\( 11 - \frac{11}{-11} = 11+1=12. \)
Если \(m = -1\), то
\( 11 - \frac{11}{-1} = 11+11=22. \)
Если \(m = 1\), то
\( 11 - \frac{11}{1} = 11-11=0. \)
Если \(m = 11\), то
\( 11 - \frac{11}{11} = 11-1=10. \)
Ответ: при \(m = -11; -1; 1; 11. \)
Пояснения:
1. Сначала в числителе дроби применяем формулу разности квадратов:
\((m-1)(m+1)=m^2 - 1\).
2. Затем применяем правило:
\(\displaystyle \frac{P-Q}{D} = \frac{P}{D} - \frac{Q}{D}.\)
3. После разбиения дробей удобно дополнительно упростить каждую, сокращая одинаковые степени переменных.
4. Целая часть получается всегда целой, а дробная часть \(\frac{11}{m}\) будет целым числом при целом \(m\).
5. Целые делители 11:
\(-11; -1; 1; 11. \).
При этих значениях \(m\) исходная дробь принимает целые значения.
№71 учебника 2013-2022 (стр. 21):
а) \(\;8x^4 - 16x^3y = 8x^3(x - 2y).\)
б) \(\;15x y^5 + 10y^2 = 5y^2\,(3x y^3 + 2).\)
в) \(\;8a^2 - 50y^2 = 2\,(4a^2 - 25y^2) =\)
\(=2\,(2a - 5y)(2a + 5y).\)
г) \(\;18b^2 - 98a^2 = 2\,(9b^2 - 49a^2) =\)
\(=2\,(3b - 7a)(3b + 7a).\)
д) \(\;x^3 - 125 =\)
\(=(x - 5)(x^2 + 5x + 25).\)
е) \(\;y^3 + 8 = (y + 2)(y^2 - 2y + 4).\)
ж) \(\;ab + 8a + 9b + 72 =\)
\(=a(b + 8) + 9(b + 8) =\)
\(=(a + 9)(b + 8).\)
з) \(\;6m - 12 - 2n + mn =\)
\(=6(m - 2) + n(m - 2) =\)
\(=(m - 2)(6 + n).\)
Пояснения:
1. В пунктах а) и б) вынесли общий множитель за скобки, учитывая свойство степени:
\(a^ma^n = a^{m+n}\).
2. В пунктах в) и г) сначала вынесли общий множитель за скобки, затем применили формулу разности квадратов:
\(\;a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)
3. В пунктах д) и е) использованы формулы разности и суммы кубов:
\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2),\)
\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\)
При этом учитываем свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
4. В пунктах ж) и з) для разложения на множители применили способ группировки: сначала сгруппировали члены, вынесли общий множитель в каждой группе, затем еще раз вынесли общи множитель в виде скобки.
Вернуться к содержанию учебника