Упражнение 69 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x^2 + y^2}{x^4} = \frac{^1\cancel{x^2}}{x^{\cancel{4}^  2}} + \frac{y^2}{x^4} =\)

\(=\frac{1}{x^2} + \frac{y^2}{x^4}. \)

б) \( \frac{2x - y}{b} = \frac{2x}{b} - \frac{y}{b}. \)

в) \( \frac{a^2 + 1}{2a} = \frac{a^{\cancel{2}}}{2\cancel{a}} + \frac{1}{2a} = \frac{a}{2} + \frac{1}{2a}. \)

г) \( \frac{a^2 - 3ab}{a^3} = \frac{^1\cancel{a^2}}{a^{\cancel{3}}} - \frac{3\cancel{a}b}{a^{\cancel{3}^  2}} =\)

\(=\frac{1}{a} - \frac{3b}{a^2}. \)

Пояснения:

1. Применяем правила:

\(\displaystyle \frac{P+Q}{D} = \frac{P}{D} + \frac{Q}{D},\)

\(\displaystyle \frac{P-Q}{D} = \frac{P}{D} - \frac{Q}{D}.\)

2. После разбиения дробей удобно дополнительно упростить каждую, сокращая одинаковые степени переменных.

3. Полученные дроби являются самыми простыми представлениями исходного выражения как суммы (разности) дробей.

\(\frac{(m-1)(m+1) - 10}{m}=\)

\(=\frac{m^2 - 1-10}{m} = \frac{m^2 - 11}{m} =\)

\(=\frac{m^2}{m} - \frac{11}{m} = m - \frac{11}{m}. \)

Дробь принимает целые значения при

\(m = -11;  -1;   1;  11. \)

Если \(m = -11\), то

\( 11 - \frac{11}{-11} = 11+1=12. \)

Если \(m = -1\), то

\( 11 - \frac{11}{-1} = 11+11=22. \)

Если \(m = 1\), то

\( 11 - \frac{11}{1} = 11-11=0. \)

Если \(m = 11\), то

\( 11 - \frac{11}{11} = 11-1=10. \)

Ответ: при \(m = -11;  -1;   1;  11. \)

Пояснения:

1. Сначала в числителе дроби применяем формулу разности квадратов:

\((m-1)(m+1)=m^2 - 1\).

2. Затем применяем правило:

\(\displaystyle \frac{P-Q}{D} = \frac{P}{D} - \frac{Q}{D}.\)

3. После разбиения дробей удобно дополнительно упростить каждую, сокращая одинаковые степени переменных.

4. Целая часть получается всегда целой, а дробная часть \(\frac{11}{m}\) будет целым числом при целом \(m\).

5. Целые делители 11:

\(-11;  -1;   1;  11. \).

При этих значениях \(m\) исходная дробь принимает целые значения.