Упражнение 65 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} =\)

\(=\frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \)

\(=\frac{(3x+5)-(7x+3)}{2x-1} =\)

\(=\frac{3x+5-7x-3}{2x-1} =\)

\(=\frac{-4x+2}{2x-1} = \frac{-2\cancel{(2x-1)}}{\cancel{2x-1}} = -2 \) - не зависит от \(x\).

б)  \(\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} =\)

\(=\frac{5x+1}{5x-20} - \frac{x+17}{5x-20} =\)

\(=\frac{(5x+1)-(x+17)}{5x-20} =\)

\(=\frac{5x+1-x-17}{5x-20} =\)

\(=\frac{4x-16}{5x-20} = \frac{4\cancel{(x-4)}}{5\cancel{(x-4)}} = \frac{4}{5} \) - не зависит от \(x\).

Пояснения:

1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :

\(a-b=-(b-a)\).

а) \(1-2x = -(2x-1)\).

б) \(20-5x = -\,(5x-20)\).

2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)

где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.

3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

4) ) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\).

5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

6) Полученные дроби сводятся к числам \(-2\) и \(\frac{4}{5}\), не зависящим от \(x\).

а) \(\frac{x^2}{x^2 - 16} \;-\; \frac{8(x - 2)}{x^2 - 16}=\)

\( =\frac{x^2 - 8(x - 2)}{x^2 - 16} =\)

\(=\frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 16} =\)

\(=\frac{(x - 4)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - 4)}(x + 4)} = \frac{x - 4}{x + 4}\)

б) \(\displaystyle \frac{64 - 2ab}{(a - 8)^2} \;+\; \frac{2ab - a^2}{(8 - a)^2}=\)

\(= \frac{(64 - 2ab) + (2ab - a^2)}{(a - 8)^2} =\)

\(= \frac{64 - \cancel{2ab} + \cancel{2ab} - a^2}{(a - 8)^2} =\)

\(=\frac{64 - a^2}{(a - 8)^2} = \frac{-(a^2 - 64)}{(a - 8)^2} =\)

\(=-\frac{\cancel{(a - 8)}(a + 8)}{(a - 8)^{\cancel{2}}} = -\frac{a + 8}{a - 8}\)

Пояснения:

1) При четных степенях  значения противоположных выражений равны, поэтому в пункте б) имеем:

\((8 - a)^2 = (a - 8)^2\).

2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)

где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.

3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

4) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\);

- свойство степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\).

5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.