Упражнение 60 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} =\)

\(=\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}= \)

\(=\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{ab}= \)

\(=\frac{\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2} - \cancel{a^2}+2ab-\cancel{b^2}}{ab}= \)

\(=\frac{4\cancel{ab}}{\cancel{ab}}=4 \)

б) \( \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} =\)

\(=\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2}= \)

\(=\frac{a^2+\cancel{2ab}+b^2 + a^2-\cancel{2ab}+b^2}{a^2+b^2}= \)

\( =\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = \frac{2\cancel{(a^2 + b^2)}}{\cancel{a^2 + b^2}} = 2. \)

Пояснения:

1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

2. После получения единой дроби в числителях применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

3. Затем в числителе выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.

4. Далее дробь сокращается на общий множитель числителя и знаменателя.

\(\frac{a^2 - 12b}{a^2 - 3ab} - \frac{3ab - 4a}{a^2 - 3ab}=\)

\(= \frac{(a^2 - 12b) - (3ab - 4a)}{a^2 - 3ab} =\)

\(=\frac{a^2 - 12b - 3ab + 4a}{a^2 - 3ab}= \)

\(=\frac{(a^2 - 3ab) + (4a - 12b)}{a(a - 3b)}= \)

\(=\frac{a(a - 3b) + 4(a - 3b)}{a(a - 3b)}= \)

\(=\frac{(a + 4)\cancel{(a - 3b)}}{a\cancel{(a - 3b)}}= \frac{a + 4}{a}\)

Если \(a = -0{,}8\), то

\( \frac{-0{,}8 + 4}{-0{,}8} = \frac{3{,}2}{-0{,}8} =-\frac{32}{8}= -4. \)

Ответ: в задаче есть лишние данные - значение переменной \(b\).

Пояснения:

1. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями вычитаются их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

2. Группировка в числителе позволяет вынести \((a - 3b)\) и сократить его с аналогичным множителем в знаменателе.

3. После сокращения остаётся \(\frac{a + 4}{a}\), что не зависит от \(b\). Поэтому значение при заданном \(a\) равно \(-4\), а \(b\) в условии не играет роли.