Упражнение 63 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x}{y-1} + \frac{5}{1-y} = \)

\(=\frac{x}{y-1} - \frac{5}{y-1} = \frac{x - 5}{y-1}. \)

б) \( \frac{a}{c-3} - \frac{6}{3-c} =\)

\(=\frac{a}{c-3} + \frac{6}{c-3} = \frac{a + 6}{c-3}. \)

в) \( \frac{2m}{m-n} + \frac{2n}{n-m} =\)

\(=\frac{2m}{m-n} - \frac{2n}{m-n} =\)

\(=\frac{2m - 2n}{m-n} = \frac{2\cancel{(m-n)}}{\cancel{m-n}} = 2. \)

г) \( \frac{5p}{2q-p} + \frac{10q}{p-2q} =\)

\(=\frac{5p}{2q-p} - \frac{10q}{2q-p} =\)

\(=\frac{5p - 10q}{2q-p} = \frac{-5\cancel{(2q-p)}}{\cancel{2q-p}} = -5. \)

д) \( \frac{a^2 + 16}{a-4} + \frac{8a}{4-a} =\)

\(=\frac{a^2 + 16}{a-4} - \frac{8a}{a-4} = \)

\(=\frac{a^2 + 16 - 8a}{a-4} =\frac{a^2 - 8a + 16}{a-4} =\)

\(=\frac{(a-4)^{\cancel{2}}}{\cancel{a-4}} =a-4. \)

е) \( \frac{x^2 + 9y^2}{x - 3y} + \frac{6xy}{3y - x} =\)

\(=\frac{x^2 + 9y^2}{x - 3y} - \frac{6xy}{x - 3y} =\)

\(=\frac{x^2 + 9y^2 - 6xy}{x - 3y} =\frac{x^2 - 6xy + 9y^2}{x - 3y} =\)

\(=\frac{(x-3y)^{\cancel{2}}}{\cancel{x-3y}} = x - 3y. \)

Пояснения:

1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :

\(a-b=-(b-a)\).

а) \(1-y=-(y-1)\).

б) \(3-c=-(c-3)\).

в) \(n-m=-(m-n)\).

г) \(p-2q=-(2q-p)\).

д) \(4-a=-(a-4)\).

е) \(3y-x=-(x-3y)\).

2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)

где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.

3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

4) ) Затем, если возможно, числитель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \(\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} =\)

\(=\frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \)

\(=\frac{(3x+5)-(7x+3)}{2x-1} =\)

\(=\frac{3x+5-7x-3}{2x-1} =\)

\(=\frac{-4x+2}{2x-1} = \frac{-2\cancel{(2x-1)}}{\cancel{2x-1}} = -2 \) - не зависит от \(x\).

б)  \(\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} =\)

\(=\frac{5x+1}{5x-20} - \frac{x+17}{5x-20} =\)

\(=\frac{(5x+1)-(x+17)}{5x-20} =\)

\(=\frac{5x+1-x-17}{5x-20} =\)

\(=\frac{4x-16}{5x-20} = \frac{4\cancel{(x-4)}}{5\cancel{(x-4)}} = \frac{4}{5} \) - не зависит от \(x\).

Пояснения:

1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :

\(a-b=-(b-a)\).

а) \(1-2x = -(2x-1)\).

б) \(20-5x = -\,(5x-20)\).

2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)

где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.

3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:

\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)

\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)

4) ) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\).

5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

6) Полученные дроби сводятся к числам \(-2\) и \(\frac{4}{5}\), не зависящим от \(x\).