Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№62 учебника 2023-2025 (стр. 21):
Найдите значение выражения \[ \frac{a^2 - 12b}{a^2 - 3ab} - \frac{3ab - 4a}{a^2 - 3ab} \] при \(a = -0{,}8\), \(b = -1{,}75\). Нет ли в задаче лишних данных?
№62 учебника 2013-2022 (стр. 20):
Выполните сложение или вычитание дробей:
а) \(\displaystyle \frac{10p}{p - q} \;+\; \frac{3p}{q - p}\);
б) \(\displaystyle \frac{5a}{a - b} \;+\; \frac{5b}{b - a}\);
в) \(\displaystyle \frac{x - 3}{x - 1} \;-\; \frac{2}{1 - x}\);
г) \(\displaystyle \frac{a}{2a - b} \;+\; \frac{3a - b}{b - 2a}\);
д) \(\displaystyle \frac{a}{a^2 - 9} \;+\; \frac{3}{9 - a^2}\);
е) \(\displaystyle \frac{y^2}{y - 1} \;+\; \frac{1}{1 - y}\).
№62 учебника 2023-2025 (стр. 21):
Вспомните:
№62 учебника 2013-2022 (стр. 20):
Вспомните:
№62 учебника 2023-2025 (стр. 21):
\(\frac{a^2 - 12b}{a^2 - 3ab} - \frac{3ab - 4a}{a^2 - 3ab}=\)
\(= \frac{(a^2 - 12b) - (3ab - 4a)}{a^2 - 3ab} =\)
\(=\frac{a^2 - 12b - 3ab + 4a}{a^2 - 3ab}= \)
\(=\frac{(a^2 - 3ab) + (4a - 12b)}{a(a - 3b)}= \)
\(=\frac{a(a - 3b) + 4(a - 3b)}{a(a - 3b)}= \)
\(=\frac{(a + 4)\cancel{(a - 3b)}}{a\cancel{(a - 3b)}}= \frac{a + 4}{a}\)
Если \(a = -0{,}8\), то
\( \frac{-0{,}8 + 4}{-0{,}8} = \frac{3{,}2}{-0{,}8} =-\frac{32}{8}= -4. \)
Ответ: в задаче есть лишние данные - значение переменной \(b\).
Пояснения:
1. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями вычитаются их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
2. Группировка в числителе позволяет вынести \((a - 3b)\) и сократить его с аналогичным множителем в знаменателе.
3. После сокращения остаётся \(\frac{a + 4}{a}\), что не зависит от \(b\). Поэтому значение при заданном \(a\) равно \(-4\), а \(b\) в условии не играет роли.
№62 учебника 2013-2022 (стр. 20):
а) \(\frac{10p}{p - q} + \frac{3p}{q - p} =\)
\(=\frac{10p}{p - q} - \frac{3p}{p - q} = \frac{7p}{p - q}. \)
б) \( \frac{5a}{a - b} + \frac{5b}{b - a} =\)
\(=\frac{5a}{a - b} - \frac{5b}{a - b} =\)
\(=\frac{5\cancel{(a - b)}}{\cancel{a - b}} = 5. \)
в) \(\frac{x - 3}{x - 1} - \frac{2}{1 - x} =\)
\(=\frac{x - 3}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} =\)
\(=\frac{x - 3 + 2}{x - 1} = \frac{\cancel{x - 1}}{\cancel{x - 1}} = 1. \)
г) \( \frac{a}{2a - b} + \frac{3a - b}{b - 2a} =\)
\(=\frac{a}{2a - b} - \frac{3a - b}{2a - b} = \)
\(=\frac{a - (3a - b)}{2a - b} =\frac{a - 3a + b}{2a - b} =\)
\(=\frac{-2a+b}{2a - b} =\frac{-\cancel{(2a-b)}}{\cancel{2a - b}} = -1. \)
д) \( \frac{a}{a^2 - 9} + \frac{3}{9 - a^2} =\)
\(=\frac{a}{a^2 - 9} - \frac{3}{a^2 - 9} = \)
\(=\frac{a - 3}{a^2 - 9} = \frac{\cancel{a - 3}}{\cancel{(a-3)}(a+3)} = \)
\(=\frac{1}{a + 3}. \)
е) \(\frac{y^2}{y - 1} + \frac{1}{1 - y} =\)
\(=\frac{y^2}{y - 1} - \frac{1}{y - 1} = \frac{y^2 - 1}{y - 1} =\)
\(=\frac{\cancel{(y-1)}(y+1)}{\cancel{y - 1}} = y + 1. \)
Пояснения:
1) При одинаковых по модулю, но противоположных по знаку знаменателях удобно заменить один из знаменателей на противоположный, чтобы привести дроби к общему знаменателю :
\(a-b=-(b-a)\).
а) \(q - p = -(p - q)\).
б) \(b - a = -(a - b)\).
в) \(1 - x = -(x - 1)\).
г) \(b - 2a = -(2a - b)\).
д) \(9 - a^2 = -(a^2 - 9)\).
е) \(1 - y = -(y - 1)\).
2) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B},\)
где \(A\) и \(B\) - многочлены, причем \(B\) ненулевой многочлен.
3) При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
4) Затем, если возможно, числитель и (или) знаменатель полученной дроби раскладываем на множители, используя следующие приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ax+bx=(a+b)x\);
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
5) Если возможно, сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника