Упражнение 1225 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\;p^2 - 1 = (p-1)(p+1).\)

\(p\) — простое больше 3, значит, оно нечётное и не делится на 3. Тогда числа \(p-1\), \(p\) и \(p+1\) — три последовательных целых, из которых:

— два (именно \(p-1\) и \(p+1\)) — чётные и каждое содержит множитель 2, причём одно из них делится на 4.

— одно из трёх (или \(p-1\), или \(p+1\)) делится на 3, так как \(p\) не делится на 3.

В произведении \((p-1)(p+1)\) имеются множители 4, 2 и 3, то есть в сумме разложение содержит

\(2\cdot4\cdot3=24\).

Значит, \(p^2 - 1\) кратно \(24.\)

Пояснения:

1) Формула разности квадратов:
\[\;a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).\]

2) Свойства подряд идущих чисел:
— В любой паре двух последовательных чётных чисел одно кратно 4;
— Среди трех последовательных целых чисел одно число кратно 3.

3) Комбинируя эти факты, получаем, что в произведении \((p-1)(p+1)\) есть по крайней мере один множитель 4, один множитель 2 и один множитель 3, дающие в произведении 24.

Пусть скорость в гору равна \(x\) (км/ч), скорость под гору через \(y\) (км/ч), а по ровному — 18 км/ч.

1) \(\frac{12}{18} (ч)= \frac23 (ч) = \frac{40}{60} (ч) =\)

\(=40 (мин)\) - время в пути по ровному месту.

2) \(1 ч \,7 мин - 40 мин = \)

\(=67 мин - 40 мин = 27 мин =\)

\(= \frac{27}{60} ч = \frac{9}{20} ч\) - время в пути в гору и под гору из А в В.

3) \(1 ч \,16 мин - 40 мин = \)

\(=76 мин - 40 мин = 36 мин=\)

\(=\frac{36}{60} ч = \frac35 ч\) - время в пути в гору и под гору из В в А.

4) Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} \frac3x + \frac6y = \frac{9}{20},   /\times20xy \\ \frac6x + \frac3y = \frac{3}{5}          /\times5xy \end{cases} \)

\( \begin{cases} 60y + 120x = 9xy,   / : 3 \\ 30y + 15x = 3xy      / : 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 20y + 40x = 3xy,  \\ 10y + 5x = xy   /\times(-2) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 20y + 40x = 3xy,  \\ -20y - 10x = -2xy \end{cases} \)   \((+)\)

\( \begin{cases} 30x = xy,  / : x \\ -20y - 10x = -2xy \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30, \\ -20\cdot30 - 10x = -2x\cdot30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30, \\ -600 - 10x = -60x \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30, \\ 60x - 10x = 600 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30, \\ 50x = 600 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30, \\ x = \frac{600}{50} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 30, \\ x = 12 \end{cases} \)

Ответ: скорость мотоциклиста в гору 12 км/ч, под гору - 30 км/ч.

Пояснения:

1) Обозначив скорости мотоциклиста в гору и под гору \(x\) и \(y\), по условию составляем систему уравнений.

2) Решаем систему методом сложения, используя свойства уравнений.