Упражнение 1216 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y + \lvert y\rvert = x\)

Если \(y \ge 0\), то

\(y + y = x \)

\(2y = x \)

\(y = \frac{1}{2}x\)

Если \(y < 0\), то

\( y - y = x \)

\( x = 0\)

б) \(y = x\,\lvert y\rvert\)

Если \(y \ge 0\), то

\( y = x\,y \)

\(y - x\,y = 0 \)

\(y(1 -  x) = 0 \)

1) \(y = 0\) - ось \(x\).

2) \(x - 1 = 0\),

\(x = 1\) - часть вертикальной прямой при \(y\ge0\).

Если \(y < 0\), то

\( y = x\cdot(-y)\),

\(y = -xy\),

\(y + x\,y = 0 \)

\( y(1 + x) = 0 \)

\(y = 0\) - не удовлетворяет условию \(y<0\).

\(1 + x = 0\),

\(x=-1\) - часть вертикальной прямой при \(y<0\).

Пояснения:

– В обоих уравнениях разбиваем по знаку \(y\), раскрывая \(\lvert y\rvert\).

– Получаем несколько линейных ветвей (прямых или лучей), каждая действительна при своём значении \(y\).

– График строится объединением этих ветвей.

а) Рассмотрим два случая по знаку \(y\):

1) Если \(y \ge 0\), то \(\lvert y\rvert = y\), и уравнение примет вид:

\( y + y = x \),

\(x = 2y \)

\(y = \tfrac{1}{2}x\) - прямая для точек с \(y\ge0\), что выполняется при \(x\ge0\).

2) Если \(y < 0\), то \(\lvert y\rvert = -y\), и уравнение примет вид:

\( y - y = x \),

\( x = 0\) - часть оси \(y\) при \(y<0\).

б) Рассмотрим два случая:

1) Если \(y \ge 0\), то \(\lvert y\rvert = y\), и уравнение примет вид:

\(y = x\,y. \)

\(y - x\,y = 0 \)

\(y(1 -  x) = 0 \)

\(y = 0\) - ось \(x\).

\(x - 1 = 0\),

\(x = 1\) -  часть вертикальной прямой для точек с \(y\ge0\).

Если \(y < 0\), то \(\lvert y\rvert = -y\), и уравнение примет вид:

\( y = x\cdot(-y)\),

\(y = -xy\),

\(y + x\,y = 0 \)

\( y(1 + x) = 0 \)

\(y = 0\) - не удовлетворяет условию \(y<0\).

\(1 + x = 0\),

\(x=-1\) - часть вертикальной прямой для точек с \(y<0\).

\[ y = \frac{x + z}{2}. \]

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2 \Bigl(\frac{x+z}{2}\Bigr)^2 + 4\,\Bigl(\frac{x+z}{2}\Bigr)^2\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - \cancel4x^2 \,\frac{(x+z)^2}{\cancel4} + \cancel4\cdot\frac{(x+z)^2}{\cancel4}\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^2(x+z)^2 + (x+z)^2\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^2(x^2 + 2xz + z^2) + (x^2 + 2xz + z^2)\,z^2 = 0. \)

\( x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^4 -2x^3z -x^2z^2 + x^2z^2 +2xz^3 + z^4 = 0\)

\((x^4 - x^4) + (2x^3z - 2x^3z) + (2xz^3 - 2xz^3) + (z^4 - z^4) + (x^2z^2 - x^2z^2) = 0\).

\(0 = 0\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1) Подстановка среднего арифметического \(y=\frac{x+z}{2}\) позволяет выразить все члены через \(x\) и \(z\).

2) Раскрытие скобок и упрощение показывает, что положительные и отрицательные части попарно взаимно уничтожаются.

3) В результате получаем тождественное равенство.

Квадрат суммы двух выражений:

\(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c + d) = ab + ac + ad\).

Свойства степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\);

\(\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^n=\frac{a^n}{b^n}\).