Упражнение 1207 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} a = 0,8\,b,\\ c = 1,4\,b,\\ c - a = 72. \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 0,8\,b,\\ c = 1,4\,b,\\ 1,4\,b -  0,8\,b = 72. \end{cases} \)

\(1,4b - 0,8b = 72\)

\(0,6b = 72 \)

\( b = \frac{72}{0,6}\)

\( b = \frac{720}{6}\)

\(b= 120. \)

\( a = 0,8 \cdot 120 = 96.\)

\(c = 1,4 \cdot 120 = 168. \)

Ответ: \( a = 96,\) \(b= 120,\) \(c = 168. \)

Пояснения:

– Перевод процентов в десятичные дроби:

80% = 0,8, 140% = 1,4.

– Система уравнений упростилась до одного линейного уравнения по \(b\).

– После нахождения \(b\) по формулам вычисляем \(a\) и \(c\).

\( 15x^2 -18xy +15y^2 =\)

\(=9x^2 + 6x^2 - 18xy + 9y^2 + 6y^2=\)

\(=(9x^2 - 18xy + 9y^2) + 6x^2 + 6y^2 =\)

\(=((3x)^2 - 2\cdot3x\cdot3y + (3y)^2) + 6x^2 + 6y^2 =\)

\(=(3x - 3y)^2 + 6x^2 + 6y^2 > 0\),

если \(x\neq0\) или \(y\neq0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Сначала представили выражения с квадратами переменных в виде суммы подобных слагаемых:

\( 15x^2 =9x^2 + 6x^2\),

\( 15y^2 =9y^2 + 6y^2\)/

– Далее выполнили группировку:

\((9x^2 - 18xy + 9y^2)\), что, учитывая свойство степени \(a^nb^n = (ab)^n\), можно записать так:

\(((3x)^2 - 2\cdot3x\cdot3y + (3y)^2) \),

полученное выражение можно по формуле разности квадрата записать как:

\((3x - 3y)^2\).

– Квадрат любого числа отличного от нуля, является положительным числом, следовательно, выражение \((3x - 3y)^2 + 6x^2 + 6y^2 > 0\), если \(x\neq0\) или \(y\neq0\).

Значит, \( 15x^2 -18xy +15y^2 >0\), если \(x\neq0\) или \(y\neq0\). Что и требовалось доказать.