Упражнение 1185 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \begin{cases} 6(x+y) = 8 + 2x - 3y,\\ 5(y - x) = 5 + 3x + 2y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6x+6y = 8+2x-3y,\\ 5y-5x = 5+3x+2y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6x-2x+6y+3y = 8,\\ 5y-2y-5x-3x = 5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x+9y=8,   /\times2 \\ -8x+3y=5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8x+18y=16, \\ -8x+3y=5; \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} 21y=21, \\ -8x+3y=5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=1, \\ 8x= 3y-5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=1, \\ 8x= 3\cdot1-5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=1, \\ 8x= -2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=1, \\ x= -\frac28; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=1, \\ x= -0,25; \end{cases} \)

Ответ: \(x= -0,25\), \(y=1\).

б) \( \begin{cases} -2(2x + 1) + 1{,}5 = 3(y - 2) - 6x,\\ 11{,}5 - 4(3 - x) = 2y - (5 - x); \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4x -2 + 1{,}5 = 3y - 6 - 6x,\\ 11{,}5 - 12 + 4x = 2y - 5 + x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4x +6x - 3y = -6 + 2 - 1,5,\\ 4x-x-2y = -5 - 11,5 + 12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x - 3y = -5,5,   /\times(-3) \\ 3x - 2y = -4,5;   /\times2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6x + 9y = 16,5, \\ 6x - 4y = -9; \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} 5y = 7,5, \\ 6x - 4y = -9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{7,5}{5}, \\ 6x = -9 + 4y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1,5, \\ 6x = -9 + 4\cdot1,5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1,5, \\ 6x = -9 + 6; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1,5, \\ 6x = -3; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1,5, \\ x = -\frac{3}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1,5, \\ x = -0,5; \end{cases} \)

Ответ: \(x = -0,5,\) \(y = 1,5\).

в) \( \begin{cases} 4(2x - y + 3) - 3(x - 2y + 3) = 48,\\ 3(3x - 4y + 3) + 4(4x - 2y - 9) = 48; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8x - 4y + 12 - 3x + 6y - 9 = 48,\\ 9x - 12y + 9 + 16x - 8y - 36 = 48; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x + 2y = 48 - 12 + 9,\\ 25x - 20y = 48 - 9 + 36; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x + 2y = 45,   /\times(-5) \\ 25x - 20y = 75; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -25x -10y = -225, \\ 25x - 20y = 75; \end{cases} \)    \((+)\)

\( \begin{cases} -30y = -150, \\ 25x - 20y = 75; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{150}{30}, \\ 25x = 75 + 20y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5, \\ 25x = 75 + 20\cdot5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5, \\ 25x = 75 + 100; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5, \\ 25x = 175; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5, \\ x = \frac{175}{25}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 5, \\ x = 7; \end{cases} \)

Ответ: \(x = 7\), \(y = 5\).

г) \( \begin{cases} 84 + 3(x - 3y) = 36x - 4(y + 17),\\ 10(x - y) = 3y + 4(1 - x); \end{cases} \)

\( \begin{cases} 84 + 3x - 9y = 36x - 4y - 68,\\ 10x - 10y = 3y + 4 - 4x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x - 36x - 9y + 4y = -68 - 84,\\ 10x + 4x - 10y - 3y = 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -33x - 5y = -152,   /\times(-13) \\ 14x - 13y = 4; /\times5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 429x + 65y = 1976, \\ 70x - 65y = 20; \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} 499x = 1996, \\ 70x - 65y = 20; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{1996}{499}, \\ 65y = 70x - 20; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4, \\ 65y = 70\cdot4 - 20; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4, \\ 65y = 280 - 20; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4, \\ 65y = 260; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4, \\ y = \frac{260}{65}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 4, \\ y = 4; \end{cases} \)

Ответ: \(x = 4\), \(y = 4\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Раскрытие скобок, используя распределительное свойство умножения:

\(a(b+c)=ab+ac\).

2) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

3) Приведение подобных членов при преобразовании каждого уравнения:

\(ax + bx = (a + b)x\).

4) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

5) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

6) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

7) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

а) \(\lvert x - 3\rvert = 7\)

\(x - 3 = 7\) или \(x - 3 = -7\)

\(x = 7 + 3\)        \(x = -7 + 3\)

\(x = 10\)             \(x = -4\)

Ответ: 10; -4.

б) \(\lvert x + 2\rvert = 9\)

\(x + 2 = 9\) или \(x + 2 = -9\)

\(x = 9 - 2\)        \(x = -9 - 2\)

\(x = 7\)               \(x = -11\)

Ответ: 7, -11.

в) \(\lvert 4 - x\rvert = 1{,}5\)

\(4 - x = 1{,}5\) или \(4 - x = -1{,}5\)

\(x = 4 - 1{,}5\)        \(x = 4 + 1{,}5\)

\(x = 2{,}5\)                \(x = 5{,}5\)

Ответ: 2,5; 5,5.

г) \(\lvert 6 - x\rvert = 7{,}3\)

\(6 - x = 7{,}3\) или \(6 - x = -7{,}3\)

\(x = 6 - 7{,}3\)        \(x = 6 + 7{,}3\)

\(x = -1{,}3\)            \(x = 13{,}3\)

Ответ: -1,3; 13,3.

Пояснения:

– По определению модуля \(\lvert A\rvert = B\) равносильно двум случаям \(A = B\) и \(A = -B\).

– Каждое уравнение с модулем разбивается на два простых линейных уравнения.

– Решая их отдельно, сразу получаем все корни.