Упражнение 1189 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 232

а) \( \begin{cases} 5x - 4y = 1,\\ 3x + y = 13,\\ 7x - 5y = 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x - 4y = 1,\\ y = 13 - 3x,\\ 7x - 5(13 - 3x) = 1; \end{cases} \)

\(7x - 5(13 - 3x) = 1\)

\(7x - 65 + 15x = 1\)

\(22x = 66\)

\(x = \frac{66}{22}\)

\(x = 3\)

\(y = 13 - 3\cdot3 = 13 - 9 = 4\)

\(5x - 4y = 1\)

\(5\cdot3 - 4\cdot4 = 1\)

\(15 - 16 = 1\)

\(-1 = 1\) - неверно.

Ответ: система не имеет решения.

б) \( \begin{cases} 11x + 3y = 1,\\ 2x + y = 3,\\ 5x + 2y = 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11x + 3y = 1,\\ y = 3 - 2х,\\ 5x + 2(3 - 2x) = 4; \end{cases} \)

\( 5x + 2(3 - 2x) = 4\)

\( 5x + 6 - 4x = 4\)

\( x = 4 - 6\)

\(x = -2\)

\(y = 3 - 2\cdot(-2) = 3 + 4 = 7\)

11x + 3y = 1

\(11\cdot(-2) + 3\cdot7 = 1\)

\(-22 + 21 = 1\)

\(-1 = 1\) - неверно.

Ответ: система не имеет решения.

Пояснения:

1) Чтобы проверить систему из трех уравнений, достаточно решить любые два уравнения, найти значения \(x\) и \(y\) и подставить их в третье уравнение, если числовое равенство при подстановке получится верным, то полученные значения \(x\) и \(y\) являются решениями этой системы, если числовое равенство при подстановке получится неверным, то система не имеет решения.

2) При решении систем применён метод подстановки:

– из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;

– подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;

– решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;

– затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.

3) В каждой системе решения двух уравнений не превращают третье уравнение в верное числовое равенство, поэтому системы решений не имеют.

Пусть \(x\), \(y\) и \(z\) количество орехов в первом, втором и третьем ящиках соответственно.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ y = 1{,}3\,z,\\ x - z = 80. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ 1{,}1\,x = 1{,}3\,z,\\ x - z = 80. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ x = \frac{1{,}3}{1{,}1}\,z,\\ x - z = 80. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 1{,}1\,x,\\ x = \frac{13}{11}\,z,\\ \frac{13}{11}\,z - z = 80. \end{cases} \)

\( \tfrac{13}{11}z - z = 80 \)    /\(\times11\)

\( 13z - 11z = 880 \) 

\(2z = 880 \)

\(z = \frac{880}{2} \)

\(z = 440. \)

\( x = \tfrac{13}{\cancel{11}}\cdot\cancel{440}^{40}= 13\cdot40 = 520\)

\(y = 1{,}1\cdot 520 = 572. \)

Пояснения:

– Увеличение на 10% соответствует коэффициенту 1,1, а увеличение на 30% соответствует коэффициенту 1,3.

– Составили систему трёх уравнений по трём неизвестным \(x,y,z\).

– Метод подстановки: из уравнений на \(y\) выразили \(x\) через \(z\), затем нашли \(z\), а после — \(x\) и \(y\).