Упражнение 1183 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 231

\( \begin{cases} \tfrac12x + \tfrac15y = 2,    /\times10 \\ 5x + 2y = c \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x + 2y = 20,    /\times10 \\ 5x + 2y = c \end{cases} \)

Система не имеет решений при \( c \neq 20. \)

Ответ: \(c = 5\).

Пояснения:

– Две прямые с одинаковыми коэффициентами при \(x\) и \(y\), но разными свободными членами, параллельны и не пересекаются.

– В нашем случае оба уравнения приводятся к виду \(5x+2y=\text{число}\). Если числа не совпадают, прямые не имеют общих точек.

– Значит, система не имеет решений для любого \(c\), отличного от 20, например, \(c = 5\).

15% = 0,15;

20% = 0,2.

Пусть \(x\) деталей в день изготавливал первый станок, \(y\) деталей в день — второй станок. Тогда первый станок стал изготавливать

\(x + 0,15x = 1,15x\) деталей, а второй — \(y + 0,2y = 1,2y\) деталей.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 8x + 5y = 235,   / : 5 \\2\cdot1{,}15x + 3\cdot1{,}2y = 100 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1,6x + y = 47,\\ 2,3x + 3,6y = 100 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 47 - 1,6x,\\ 2,3x + 3,6(47 - 1,6x) = 100 \end{cases} \)

\(2,3x + 3,6(47 - 1,6x) = 100\)

\(2,3x + 169,2 - 5,76x = 100\)

\(-3,46x = 100 - 169,2\)

\(-3,46x = -69,2\)

\(x = \frac{69,2}{3,46}\)

\(x = 20\)

\(y = 47 - 1,6\cdot20 = 47 - 32 = 15\)

Ответ: 20 деталей в день изготовляли на первом станке, 15 деталей в день — на втором.

Пояснения:

– Вводим переменные \(x\) и \(y\) как исходные дневные нормы станков.

– Первое уравнение отражает общий выпуск до модернизации.

– Второе уравнение учитывает увеличение производительности на 15% и 20% и новую норму выпуска за 2 и 3 дня.

– Решение системы методом подстановки:

• из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;
• подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;
• решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;
• затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.