Упражнение 1177 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 230

\( \begin{cases} y = 2x - 5,\\ y = -x + 1 \end{cases} \)

\( 2x - 5 = -x + 1 \)

\( 3x = 6 \)

\( x = \frac63 \)

\( x = 2 \)

\( y = 2\cdot2 - 5 = -1 \)

\((2;\,-1)\) - точка пересечения прямых \( y = 2x - 5\) и \(y = -x + 1? \)

\(y = kx - 4\)

\( -1 = k\cdot2 - 4 \)

\( -1 = 2k - 4 \)

\(2k = -1 + 4 \)

\(2k = 3 \)

\(k = \frac{3}{2} \)

\(k = 1,5\)

Ответ: при \(k = 1,5\).

Пояснения:

– Для нахождения пересечения двух прямых решают систему из их уравнений, приравнивая выражения для \(y\).

– После получения \(x\) подставляют его в одно из уравнений, чтобы найти \(y\).

– Чтобы прямая \(y = kx - 4\) проходила через найденную точку, подставляют её координаты в уравнение и решают относительно \(k\).

– В результате получаем единственное значение \(k =1,5\).

Пусть \(x\) (ч) автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, и \(y\) (ч) — со скоростью 60 км/ч. Известно, что автомобиль проделал путь за 8 ч и весь этот путь он мог бы проехать за то же время, если бы ехал со скоростью 45 км/ч.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 8,\\ 40x + 60y = 45\cdot8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 8 - y,\\ 40(8 - y) + 60y = 360 \end{cases} \)

\(40(8 - y) + 60y = 360\)

\(320 - 40y + 60y = 360\)

\(20y = 360 - 320\)

\(20y = 40\)

\(y = \frac{40}{20}\)

\(y = 2 \)

\(x = 8 - 2 = 6\)

Ответ: автомобиль ехал 6 ч со скоростью 40 км/ч и 2 ч со скоростью 60 км/ч.

Пояснения:

– Обозначения: \(x\) и \(y\) — время в часах на участках с разными скоростями.

– Формула пути для каждого участка: \(S = v\,t\).

– Сумма времён даёт общее время: \(x + y = 8\).

– Сумма дистанций равна общей длине пути: \(40x + 60y = 360\).

– Решение системы линейных уравнений методом подстановки:

• из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;
• подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;
• решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;
• затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.