Упражнение 1105 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

 \(A(-1;3)\) и \(B(2;-1)\)

\(y = kx + b\)

\( \begin{cases} 3 = -1\cdot k + b,\\ -1 = 2k + b. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -k + b = 3,\\ 2k + b = -1.      /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} -k + b = 3,\\ -2k - b = 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3k = 4,\\ -2k - b = 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -\frac{4}{3},\\ b = -2k - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = -2\cdot(-\frac{4}{3}) - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = \frac{8}{3} - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = 2\frac{2}{3} - 1. \end{cases} \)

\( \begin{cases} k = -1\frac{1}{3},\\ b = 1\frac{2}{3}. \end{cases} \)

\(y = -1\frac{1}{3}x + 1\frac{2}{3}\)

Ответ: \(y = -1\frac{1}{3}x + 1\frac{2}{3}\).

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Уравнение линейной функции

\(y=kx+b\).

2) Составление системы из двух уравнений

\(\;y_1 = kx_1 + b,\;y_2 = kx_2 + b\),

где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты точек, через которые проходит прямая.

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Пусть \(x\) рупий у \(A\) и \(y\) рупий — у \(B\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + 100 = 2\,(y - 100),\\ y + 10 = 6\,(x - 10). \end{cases} \)

\( \begin{cases} x + 100 = 2y - 200,\\ y + 10 = 6x - 60. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - 2y =-100- 200,\\ -6x + y = - 60 -10. \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - 2y =-300,\\ -6x + y = - 70   /\times2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - 2y =-300,\\ -12x + 2y = -140  \end{cases} \)

\( \begin{cases} -11x =-440,\\ -12x + 2y = -140 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x =\frac{440}{11},\\ 2y = 12x - 140 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x =40,\\ 2y = 12\cdot40 - 140 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x =40,\\ 2y = 480 - 140 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x =40,\\ 2y = 340 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x =40,\\ y = \frac{340}{2} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x =40,\\ y = 170 \end{cases} \)

Ответ: у \(А\) было 40 рупий, у \(В\) - 170 рупий.

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Введение переменных \(x\) и \(y\) для денег \(A\) и \(B\).

2) Составление системы уравнений по условиям задачи.

3) Раскрытие скобок (распределительное свойство умножения):

\(a(x+y)=ax + ay\).

4) Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую:

если \(a + b = c + d\), то \(a-d=c-b\).

5) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

6) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

7) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.