Упражнение 926 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( c^3 + b^6 = c^3 + (b^2)^3 = \)

\(=(c + b^2)\bigl(c^2 - c\,b^2 + b^4\bigr). \)

б) \( a^9 - b^6 = (a^3)^3 - (b^2)^3 =\)

\(=\bigl(a^3 - b^2\bigr)\bigl((a^3)^2 + a^3b^2 + (b^2)^2\bigr) =\)

\(=(a^3 - b^2)\bigl(a^6 + a^3b^2 + b^4\bigr). \)

в) \( x^6 - 8 = (x^2)^3 - 2^3 =\)

\(=(x^2 - 2)\bigl((x^2)^2 + 2x^2 + 2^2\bigr) =\)

\(=(x^2 - 2)\bigl(x^4 + 2x^2 + 4\bigr). \)

г) \( 27 + y^9 = 3^3 + (y^3)^3 =\)

\(=\bigl(3 + y^3\bigr)\bigl(3^2 - 3y^3 + (y^3)^2\bigr) =\)

\(=(3 + y^3)\bigl(9 - 3y^3 + y^6\bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

При работе с формулами учитывали свойство степени:

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\) .

а) \(x^2(x+2) - x(x+1)^2 = 5x + 9\)

\(x^3 + 2x^2 - x(x^2+2x+1) = 5x+9\)

\(\cancel{x^3} + \cancel{2x^2} - \cancel{x^3} - \cancel{2x^2} - x = 5x+9\)

\( -x = 5x + 9\)

\( -x - 5x = 9\)

\( -6x = 9 \)

\(x = -\tfrac{9}{6}\)

\(x = -\tfrac{3}{2}\)

\(x = -1,5\)

Ответ: \(x = -1,5\).

б) \((y-3)^2 + 3(y+2)(y-2) = 9 + 4y^2.\)

\( y^2 - 6y + 9+ 3(y^2 - 4) =9 + 4y^2 \)

\( y^2 - 6y + 9 + 3y^2 - 12 =9 + 4y^2 \)

\( \cancel{y^2} - 6y + \cancel{3y^2} - \cancel{4y^2} =9 - 9 + 12 \)

\( -6y = 12\)

\(y=-\frac{12}{6}\)

\(y = -2\)

Ответ: \(y = -2\).

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) \( a^2 - b^2=(a - b)(a + b) \) - разность квадратов двух выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

5) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую.

6) Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

7) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x=\frac{b}{a}\).

В пункте а) мы раскрыли все скобки, привели подобные члены и получили линейное уравнение \( -6x = 9 \), откуда \(x = -1,5\).

В пункте б) раскрыли все скобки, привели подобные члены и получили линейное уравнение \( -6y = 12\), откуда \(y = -2\).