Упражнение 922 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( c^3 - d^3 = (c - d)\,(c^2 + c\,d + d^2). \)

б) \( p^3 + q^3 = (p + q)\,(p^2 - p\,q + q^2). \)

в) \( x^3 - 64 = x^3 - 4^3 =\)

\(=(x - 4)\,(x^2 + 4x + 16). \)

г) \( 125 + a^3 = 5^3 + a^3 =\)

\(=(5 + a)\,(25 - 5a + a^2). \)

д) \( y^3 - 1 = y^3 - 1^3 =\)

\(=(y - 1)\,(y^2 + y + 1). \)

е) \( 1 + b^3 = 1^3 + b^3 =\)

\(=(1 + b)\,(1 - b + b^2). \)

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

\(a = 2x - 5\), \(b = 8x + 1\),

\(c = 4x - 2\).

\(ab - c^2 =\)

\(=(2x - 5)(8x + 1) - (4x - 2)^2 =\)

\(=16x^2 + 2x - 40x - 5 - (16x^2 - 16x + 4)=\)

\(= 16x^2 - 38x - 5 - 16x^2 + 16x - 4=\).

\(= \cancel{16x^2} - 38x - 5 - \cancel{16x^2} + 16x - 4 =\)

\(=-22x - 9\).

Пояснения:

Использованные правила:

– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.

– Сложение и вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

– Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

– Свойство степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\).

– Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Умножаем \(a\) на \(b\), для этого раскрываем скобки по правилу умножения многочлена на многочлен, затем приводим подобные члены:

\( (2x - 5)(8x + 1) =\)

\(=2x\cdot8x + 2x\cdot1 - 5\cdot8x - 5\cdot1 =\)

\(=16x^2 + 2x - 40x - 5 =\)

\(=16x^2 - 38x - 5. \)

Возводим \(c\) в квадрат по правилу квадрата разности:

\( (4x - 2)^2 = (4x)^2 - 2\cdot4x\cdot2 + 2^2=\)

\(=16x^2 - 16x + 4. \)

Вычитаем полученные многочлены, раскрывая скобки со знаком минус и приводя подобные члены:

\( (16x^2 - 38x - 5) - (16x^2 - 16x + 4) =\)

\(=16x^2 - 38x - 5 - 16x^2 + 16x - 4 =\)

\(=(16x^2 - 16x^2) + (-38x + 16x) + (-5 - 4) =\)

\(=-22x - 9. \)