Упражнение 923 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 =\)

\(=(2x - 1)\bigl((2x)^2 + 2x\cdot1 + 1^2\bigr) =\)

\(=(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1). \)

б) \( 1 + 27y^3 = 1^3 + (3y)^3 =\)

\(=(1 + 3y)\bigl(1^2 - 1\cdot3y + (3y)^2\bigr) = \)

\(=(1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2). \)

в) \( 8 - \tfrac18a^3 = 2^3 - \bigl(\tfrac{1}{2}a\bigr)^3 =\)

\(=\Bigl(2 - \tfrac{1}{2}a\Bigr)\Bigl(2^2 + 2\cdot\tfrac{1}{2}a + \bigl(\tfrac{1}{2}a\bigr)^2\Bigr) =\)

\(=\Bigl(2 - \tfrac{1}{2}a\Bigr)\Bigl(4 + a + \tfrac{1}{4}a^2\Bigr). \)

г) \( \tfrac{1}{64}m^3 + 1000 = \Bigl(\tfrac{1}{4}m\Bigr)^3 + 10^3 = \)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{4}m + 10\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{4}m\bigr)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{4}m + 10^2\Bigr) = \)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{4}m + 10\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{16}m^2 - 2,5m + 100\Bigr). \)

д) \( 125a^3 - 64b^3 = (5a)^3 - (4b)^3 =\)

\(=(5a - 4b)\bigl((5a)^2 + 5a\cdot4b + (4b)^2\bigr) =\)

\(=(5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2). \)

е) \( \tfrac{1}{27}x^3 + \tfrac{1}{125}y^3 = \Bigl(\tfrac{1}{3}x\Bigr)^3 + \Bigl(\tfrac{1}{5}y\Bigr)^3 =\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{5}y\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)^2 - \tfrac{1}{3}x\cdot\tfrac{1}{5}y + \bigl(\tfrac{1}{5}y\bigr)^2\Bigr) =\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{5}y\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{9}x^2 - \tfrac{1}{15}xy + \tfrac{1}{25}y^2\Bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

При работе с формулами учитывали свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

\((2n+1)(n+5) -2(n+3)(n-3) - (5n+13) =\)

\(=2n^2 + 10n + n + 5 - 2(n^2 - 9) - 5n -13 =\)

\(= \cancel{2n^2} + 11n + 5 - \cancel{2n^2} + 18 - 5n -13 =\)

\(= 6n + 10 = 6n + 6 + 4 = 6(n+1) + 4 \) - не делится на 6 ни при каком значении \(n\).

Пояснения:

Использованные правила:

– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.

– Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений:

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

– Сложение и вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

– Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

— Критерий делимости: если число \(a\) делится нацело на число \(k\), а число \(и\) не делится нацело на число \(k\), то сумма \(a+b\) не делится нацело на число \(k\).

В каждом шаге мы последовательно упрощали исходное выражение, сначала раскрывая скобки, затем приводя подобные члены, и, наконец, анализировали остаток при делении на 6. Число \(10\) при делении на 6 даёт остаток \(4\), который не зависит от \(n\), поэтому ни при каком целом \(n\) выражение не делится на 6.