Упражнение 789 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 161

\[ a^2 - a = a(a - 1). \] Так как \(a\) и \(a - 1\) — два подряд идущих целых числа, одно из них обязательно чётно, значит, их произведение делится на 2.

Пояснения:

1. Разложение на множители:

\( a^2 - a = a\cdot a - a = a(a - 1). \)

2. Свойство последовательных целых: среди любых двух последовательных целых одно чётно.

3. Правило делимости произведения: если один из множителей чётен, то всё произведение делится на 2.

Именно поэтому для любого целого \(a\) выражение \(a(a-1)\) кратно 2.

Пусть длина исходного прямоугольника через \(x\) см, тогда его ширина

\(30 : 2 - x = 15 - x\) см.

Новая длина \(x - 3\) см, а ширина

\(15 - x + 5 = 20 - x\) см.

Известно, что новая площадь на 8 см² меньше исходной.

1) Составим уравнение:

\( (x - 3)(20 - x) = x(15 - x) - 8 \)

\(20x -x^2 - 60 + 3x = 15x - x^2 - 8\)

\( -x^2 + 23x - 60 = 15x - x^2 - 8\)

\( -x^2 + x^2 + 23x - 15x= 60 - 8\)

\(8x = 52\)

\(x=\frac{52}{8}\)

\( x = 6{,}5 \text{ (см)}\) - длина исходного прямоугольника.

2) \(15 - 6,5 = 8{,}5\text{ (см)}\) - ширина исходного прямоугольника.

3) \( S = 6{,}5 \cdot 8{,}5 = 55{,}25\text{ (см}^2) \) - площадь исходного прямоугольника.

Ответ: площадь исходного прямоугольника равна \(55{,}25\text{ (см}^2) .\) 

Пояснения:

1. Чтобы найти одну из сторон прямоугольника, нужно периметр разделить на 2 и вычесть вторую сторону. Следовательно, обозначив длину прямоугольника через \(x\) см, его ширина будет равна:

\(30 : 2 - x = 15 - x\) см.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, тогда площадь исходного прямоугольника:

\(x(15 - x) \) см².

2. После уменьшения длины на 3 см и увеличения ширины на 5 см, новые длина и ширина прямоугольника стали соответственно равны

\(x - 3\) см и \(15 - x + 5 = 20 - x\) см.

Тогда площадь нового прямоугольника:

\((x - 3)(20 - x)\) см².

3. Условие о том, что площадь

\((x - 3)(20 - x)\) меньше исходной площади \(x(15 - x)\) на 8 см² выражает уравнение уравнение:

\( (x - 3)(20 - x) = x(15 - x) - 8 \).

3. Раскрыли скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, и раскрыли скобки в правой части уравнения, умножив \(x\) на каждый компонент в скобках.

4. Перенесли слагаемые с переменной в левую часть уравнения, изменив их знак, привели подобные члены и сократили противоположные члены.

5. Упростив уравнение, нашли длину исходного прямоугольника \(x=6{,}5\) см.

6. Нашли ширину исходного прямоугольника:

\(15 - 6,5 = 8{,}5\text{ (см)}\).

7. Перемножив длину и ширину, нашли площадь исходного прямоугольника:

\( S = 6{,}5 \cdot 8{,}5 = 55{,}25\text{ (см}^2) \).