Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№788 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Вынесите за скобки числовой множитель:
а) \((3a + 6)^2\);
б) \((12b - 4)^2\);
в) \((7x + 7y)^2\);
г) \((-3p + 6)^3\);
д) \((5q - 30)^3\);
е) \((2a - 8)^4\).
№788 учебника 2013-2022 (стр. 161):
Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на 30 м². Определите площадь первоначального прямоугольника.
№788 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Вспомните:
№788 учебника 2013-2022 (стр. 161):
Вспомните:
№788 учебника 2023-2025 (стр. 161):
а) \( (3a + 6)^2 = \bigl(3(a + 2)\bigr)^2 =\)
\(=3^2\,(a + 2)^2 = 9\,(a + 2)^2. \)
б) \( (12b - 4)^2 = \bigl(4(3b - 1)\bigr)^2 =\)
\(=4^2\,(3b - 1)^2 = 16\,(3b - 1)^2. \)
в) \( (7x + 7y)^2 = \bigl(7(x + y)\bigr)^2 =\)
\(=7^2\,(x + y)^2 = 49\,(x + y)^2. \)
г) \( (-3p + 6)^3 = \bigl(-3(p - 2)\bigr)^3 \)
\(= (-3)^3\,(p - 2)^3 = -27\,(p - 2)^3. \)
д) \( (5q - 30)^3 = \bigl(5(q - 6)\bigr)^3 =\)
\(=5^3\,(q - 6)^3 = 125\,(q - 6)^3. \)
е) \( (2a - 8)^4 = \bigl(2(a - 4)\bigr)^4 =\)
\(=2^4\,(a - 4)^4 = 16\,(a - 4)^4. \)
Пояснения:
Правило вынесения общего множителя: если в каждом слагаемом выражения есть общий множитель \(k\), то его можно вынести за скобки:
\( ka + kb = k(a + b). \)
Степень произведения: для любых чисел и выражений верно
\( \bigl(k\cdot m\bigr)^n = k^n\;m^n. \)
1. В каждом выражении внутри скобок находим общий числовой множитель и выносим его:
\((3a+6)=3(a+2)\),
\((12b-4)=4(3b-1)\) и т. д.
2. Затем применяем правило степени произведения: возводим этот множитель в заданную степень \(n\) и записываем результат перед скобками, а внутри оставляем сокращённое выражение в той же степени.
3. Так получаем итоговое выражение вида \(k^n\,(… )^n\), где \(k^n\) — числовой множитель, вынесённый за скобки.
№788 учебника 2013-2022 (стр. 161):
Пусть длина исходного прямоугольника \(x\) см, тогда его ширина:
\(36 : 2 - х = 18 - x\) см.
Новая длина \(x + 1\) см, новая ширина \(18 - x + 2 = 20 - x\) см.
Известно, что новая площадь на 30 м² больше исходной.
1) Составим уравнение:
\( (x+1)(20 - x) = x(18-x) + 30 \)
\( 20x - x^2 + 20 - x=18x - x^2 + 30\)
\(19x + 20 = 18x + 30\)
\(19x - 18x= 30 - 20\)
\(x = 10 \text{ (м)}\) - длина исходного прямоугольника.
2) \(18 - 10 = 8 \text{ (м)}\) - ширина исходного прямоугольника.
3) \( S = 10 \cdot 8 = 80\text{ (м}^2) \) - площадь исходного прямоугольника.
Ответ: \(80\text{ м}^2.\)
Пояснения:
1. Чтобы найти одну из сторон прямоугольника, нужно периметр разделить на 2 и вычесть вторую сторону. Следовательно, обозначив длину прямоугольника через \(x\) см, его ширина будет равна:
\(36 : 2 - х = 18 - x\) см.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, тогда площадь исходного прямоугольника: \( x(18-x)\).
2. После увеличения длины на 1 м и ширины на 2 м, новые длина и ширина прямоугольника стали соответственно равны
\(x + 1\) см и \(18 - x + 2 = 20 - x\) см.
Тогда площадь нового прямоугольника:
\((x+1)(20 - x)\).
3. Условие о том, что площадь
\((x+1)((18-x)+2)\) на 30 м² больше исходной \(x(18-x)\) выражает уравнение:
\( (x+1)(20 - x) = x(18-x) + 30 \).
3. Раскрыли скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, и раскрыли скобки в правой части уравнения, умножив \(x\) на каждый компонент в скобках.
4. Перенесли слагаемые с переменной в левую часть уравнения, изменив их знак, привели подобные члены и сократили противоположные члены.
5. Упростив уравнение, нашли длину исходного прямоугольника \(x = 10\) м.
6. Нашли ширину исходного прямоугольника \(18 - 10 = 8 \text{ (м)}\).
7. Перемножив длину и ширину, нашли площадь исходного прямоугольника:
\( S = 10 \cdot 8 = 80\text{ (м}^2). \)
Вернуться к содержанию учебника