Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№793 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:
а) \((x + y)(x^2 - xy + y^2)\);
б) \((x - y)(x^2 + xy + y^2)\);
в) \((a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)\);
г) \((a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)\).
№793 учебника 2013-2022 (стр. 161):
Разложите на множители многочлен:
а) \(x^2 - 10x + 24\);
б) \(x^2 - 13x + 40\);
в) \(x^2 + 8x + 7\);
г) \(x^2 + 15x + 54\);
д) \(x^2 + x - 12\);
е) \(x^2 - 2x - 35\).
№793 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Вспомните:
№793 учебника 2013-2022 (стр. 161):
Вспомните:
№793 учебника 2023-2025 (стр. 162):
а) \( (x + y)(x^2 - xy + y^2) =\)
\(=x^3 - \cancel{x^2y} + \cancel{xy^2} + \cancel{x^2y} - \cancel{xy^2} + y^3 =\)
\(=x^3 + y^3. \)
б) \( (x - y)(x^2 + xy + y^2) =\)
\(=x^3 + \cancel{x^2y} + \cancel{xy^2} - \cancel{x^2y} - \cancel{xy^2} - y^3 =\)
\(=x^3 - y^3. \)
в) \( (a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) =\)
\(=a^4 - \cancel{a^3b} + \cancel{a^2b^2} - \cancel{ab^3} + \cancel{a^3b} - \cancel{a^2b^2} + \cancel{ab^3} - b^4 =\)
\(=a^4 - b^4. \)
г) \( (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) =\)
\(=a^4 + \cancel{a^3b} + \cancel{a^2b^2} + \cancel{ab^3} - \cancel{a^3b} - \cancel{a^2b^2} - \cancel{ab^3} - b^4 =\)
\(=a^4 - b^4. \)
Пояснения:
1. Раскрытие скобок и приведение подобных членов: при умножении многочленов каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, а затем вычеркиваем противоположные члены, так как их сумма равна нулю.
2. Получение двучлена: после всех сокращений остаётся лишь два члена \(x^3\) и \(\pm y^3\) в пунктах а), б), и \(a^4\) и \(-b^4\) в пунктах в), г), то есть двучлен вида \(u^n \pm v^n\).
№793 учебника 2013-2022 (стр. 161):
а) \(x^2 - 10x + 24 =\)
\(=x^2 - 6x - 4x + 24 =\)
\(=(x^2 - 6x) - (4x - 24) =\)
\(=x(x - 6) - 4(x - 6) =\)
\(=(x - 4)(x - 6).\)
б) \(x^2 - 13x + 40 =\)
\(=x^2 - 5x - 8x + 40 =\)
\(=(x^2 - 5x) - (8x - 40) =\)
\(=x(x - 5) - 8(x - 5) =\)
\(=(x - 8)(x - 5).\)
в) \(x^2 + 8x + 7 =\)
\(=x^2 + x + 7x + 7 =\)
\(=(x^2 + x) + (7x + 7) =\)
\(x(x + 1) + 7(x + 1) =\)
\(=(x + 7)(x + 1).\)
г) \(x^2 + 15x + 54 =\)
\(=x^2 + 6x + 9x + 54 =\)
\(=(x^2 + 6x) + (9x + 54) =\)
\(=x(x + 6) + 9(x + 6) =\)
\(=(x + 9)(x + 6).\)
д) \(x^2 + x - 12 =\)
\(=x^2 + 4x - 3x - 12 =\)
\(=(x^2 + 4x) - (3x + 12) =\)
\(=x(x + 4) - 3(x + 4) =\)
\(=(x - 3)(x + 4).\)
е) \(x^2 - 2x - 35 =\)
\(x^2 + 5x - 7x - 35 =\)
\(=(x^2 + 5x) - (7x + 35) =\)
\(=x(x + 5) - 7(x + 5) =\)
\(=(x - 7)(x + 5).\)
Пояснения:
Метод разложения по среднему члену:
Средний член представляют как сумму двух подобных членов \(px + qx\) и так, чтобы появились пары членов, у которых можно вынести общий множитель за скобки, группируют:
\(x^2 + bx + c =\)
\(=x^2 + px + qx + c =\)
\(=x(x + p) + q(x + p) =\)
\(=(x + q)(x + p).\)
а) Для \(x^2 - 10x + 24\) выбраны
\(p = -6,\;q = -4\).
б) Для \(x^2 - 13x + 40\) выбраны
\(p = -5,\;q = -8\).
в) Для \(x^2 + 8x + 7\) выбраны
\(p = 1,\;q = 7\).
г) Для \(x^2 + 15x + 54\) выбраны
\(p = 6,\;q = 9\).
д) Для \(x^2 + x - 12\) выбраны
\(p = 4,\;q = -3\).
е) Для \(x^2 - 2x - 35\) выбраны
\(p = 5,\;q = -7\).
Вернуться к содержанию учебника