Упражнение 766 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

Пусть \(\overline{ab7} = 100a+10b+7\) - искомое трехзначное число, тогда новое число \(\overline{7ab} = 700 + 10a + b\). Известно, что \(\overline{7ab}\) на 324 больше, чем \(\overline{ab7}\)

Составим уравнение:

\( (700 + 10a + b) - (100a + 10b + 7) = 324. \)

\( 700 + 10a + b - 100a - 10b - 7 = 324 \)

\( 693 - 90a - 9b = 324 \)

\( 90a + 9b = 693 - 324\)

\( 90a + 9b = 369 \)       / \( : 9\)

\( 10a + b = 41 \)

\(\overline{ab} = 41\)

\(\overline{ab7} = 417\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Запись трёхзначного числа через многочлен:

\(\overline{ab7} = 100a + 10b + c\).

2. Приведение подобных членов:

\(ka + la = (k + l)a\).

3. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

4. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Комментарии к шагам:

1. Задали переменные \(a,b,c\) для цифр, зафиксировали \(c=7\).

2. Записали исходное и полученное числа как многочлены.

3. Составили уравнение разности, раскрыли скобки и привели подобные члены.

4. Получили уравнение \(10a+b=41\), из которого \(\overline{ab} = 41\), нашли искомое трехзначное число \(\overline{ab7} = 417\).

Пусть \(x\) (г) масса соли в первоначальном растворе, тогда его концентрация \(\frac{x}{480}\). Масса соли в новом растворе \(x + 20\) (г), тогда его концентрация \(\frac{x + 20}{500}\). Известно, что концентрация раствора повысилась на 3,75 % = 0,0375.

Составим уравнение:

\( \frac{x + 20}{500} - \frac{x}{480} = 0,0375 \)   /  \(\times24 000\)

\(^{48}\cancel{24000} \cdot \frac{x + 20}{\cancel{500}} -  ^{50}\cancel{24000} \cdot \frac{x}{\cancel{480}}=24000 \cdot 0,0375 \)

\( 48(x + 20) - 50x = 900 \)

\( 48x + 960 - 50x = 9000 \)

\( -2x + 960 = 900 \)

\( -2x = 900 - 960 \)

\( -2x = -60 \)

\( x = \frac{60}{2} \)

\( x = 30 \) (г)

Ответ: первоначально было \(30\) г соли.

Пояснения:

Использованы следующие правила и формулы:

\( \text{Концентр.} = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}}, \)

\( \text{Прирост концентр.} = \text{новая концентр.} - \text{исходная}. \)

1) Вводим переменную \(x\) — масса соли до добавления.

2) Составляем уравнение разности концентраций.

3) Домножаем на общий знаменатель для упрощения — избавляемся от дробей.

4) Решаем получившееся линейное уравнение и находим \(x = 30\).

Таким образом, первоначально в растворе было 30 г соли.