Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№769 учебника 2023-2025 (стр. 159):
Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:
а) \(3(x^2 - x + 1) - 0{,}5x(4x - 6)\) является положительным числом;
б) \(y(2 + y - y^3) - \tfrac{2}{3}(6 + 3y + 1{,}5y^2)\) является отрицательным числом.
№769 учебника 2013-2022 (стр. 158):
Разложите на множители:
а) \((a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b);\)
б) \((x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b);\)
в) \(7a^2(a - x) + (6a^2 - a x)(x - a);\)
г) \(11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b).\)
№769 учебника 2023-2025 (стр. 159):
Вспомните:
№769 учебника 2013-2022 (стр. 158):
Вспомните:
№769 учебника 2023-2025 (стр. 159):
а) \( 3(x^2 - x + 1) - 0{,}5x(4x - 6) =\)
\(=3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x =\)
\(=x^2 + 3 > 0\), так как \(\,x^2\ge0\).
б) \( y(2 + y - y^3) - \tfrac{2}{3}(6 + 3y + \tfrac{3}{2}y^2) =\)
\(=2y + y^2 - y^4 - \bigl(4 + 2y + y^2\bigr) =\)
\(=-\,y^4 - 4 <0 \), так как
\(\,y^4\ge0\), тогда \(-y^4\le 0\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1.Умножение многочлена на одночлен: каждый член многочлена умножается на одночлен, при этом коэффициенты перемножаются, а степени одноимённых букв складываются:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
2. Приведение подобных членов:
\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)
3. Свойство квадрата, а также любой четной степени: для любого числа \(t\) выполнено \(t^2\ge0\).
Комментарий:
В пункте а) выражение преобразовалось к \(x^2+3\), что всегда положительно.
В пункте б) получилось \(-y^4-4\), что всегда отрицательно.
№769 учебника 2013-2022 (стр. 158):
а) \( (a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b) =\)
\(=(a+2b)\bigl(a - 3b + 5a\bigr) =\)
\(=(a+2b)(6a - 3b) =\)
\(=3(a+2b)(2a - b).\)
б) \((x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b) =\)
\(=(2x - 5b)\bigl((x + 8y - 8y\bigr) =\)
\(=(2x - 5b)\,x = x(2x - 5b).\)
в) \( 7a^2(a - x) + (6a^2 - a x)(x - a) =\)
\(=7a^2(a - x) - (6a^2 - a x)(a - x) =\)
\(=(a - x)\bigl(7a^2 - (6a^2 - a x)\bigr) =\)
\(=(a - x)\bigl(7a^2 - 6a^2 + a x\bigr) =\)
\(=(a - x)(a^2 + a x) = \)
\(=a(a + x)(a - x). \)
г) \( 11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b) =\)
\(=11b^2(3b - y) + (6y - 3b^2)(3b - y) =\)
\(=(3b - y)\bigl(11b^2 + (6y - 3b^2)\bigr) =\)
\(=(3b - y)\bigl(11b^2 + 6y - 3b^2\bigr) =\)
\(=(3b - y)(8b^2 + 6y) =\)
\(=2(3b - y)(4b^2 + 3y). \)
Пояснения:
1. Вынос общего множителя. В каждом выражении находим общий множитель (скобку или одночлен) и выносим его за скобку.
2. Приведение подобных членов в скобке. После выноса раскрываем и приводим подобные внутри скобки: складываем или вычитаем степени и множители.
3. Использование свойств знаков. Для случаев, когда встречается \(x - a\) вместо \(a - x\), применяем правило \(x - a = -(a - x)\).
4. Дальнейшее упрощение. При необходимости выносим за скобки числовые множители (например, 3 или 2) для окончательного разложения.
Вернуться к содержанию учебника