Упражнение 768 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

а) \(5(4x^2 - 2x + 1) - 2(10x^2 - 6x - 1) =\)

\(=20x^2 - 10x + 5 - 20x^2 + 12x + 2 =\)

\(=2x + 7.\)

б) \(7(2y^2 - 5y - 3) - 4(3y^2 - 9y - 5) =\)

\(=14y^2 - 35y - 21 - 12y^2 + 36y + 20 =\)

\(=2y^2 + y - 1.\)

в) \(a(3b - 1) - b(a - 3) - 2(ab - a + b) =\)

\(= 3ab - a - ab + 3b - 2ab + 2a - 2b =\)

\(=a + b.\)

г) \(x^2(4 - y^2) + y^2(x^2 - 7) - 4x(x - 3) =\)

\(= 4x^2 - x^2y^2 + x^2y^2 - 7y^2 - 4x^2 + 12x =\)

\(=-7y^2 + 12x.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1.Умножение многочлена на одночлен: каждый член многочлена умножается на одночлен, при этом коэффициенты перемножаются, а степени одноимённых букв складываются:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

3. Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

Комментарии к шагам:

В каждом выражении начала раскрыли скобки, затем привели подобные.

а) \( 7^{16} + 7^{14} = 7^{14}\bigl(7^2 + 1\bigr) =\)

\(=7^{14}\cdot(49 + 1) = 7^{14}\cdot50 \) - выражение содержит множитель 50, значит, делится на 50.

б) \( 5^{31} - 5^{29} = 5^{29}\bigl(5^2 - 1\bigr) =\)

\(=5^{29}\cdot(25 - 1) = 5^{29}\cdot24 =\)

\(=(5^2\cdot5^{27})\cdot(4\cdot6) =\)

\(=(25\cdot4)\cdot(5^{27}\cdot6)=\)

\(=100\cdot(5^{27}\cdot6) \) - выражение содержит множитель 100, значит, делится на 100.

в) \( 25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} =\)

\(=5^{18} + 5^{17} = 5^{17}(5 + 1) =\)

\(=5^{17}\cdot6=5^{16}\cdot5\cdot6=\)

\(=5^{16}\cdot30\) - выражение содержит множитель 30, значит, делится на 30.

г) \( 27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} =\)

\(= 3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^2 - 1) =\)

\(=3^{28}(9-1)=3^{28}\cdot8 = \)

\(=3^{27}\cdot3\cdot8 =3^{27}\cdot24\) - выражение содержит множитель 24, значит, делится на 24.

д) \( 12^{13} - 12^{12} + 12^{11} =\)

\(=12^{11}\bigl(12^2 - 12 + 1\bigr) =\)

\(=12^{11}\,(144 - 12 + 1) = \)

\(=12^{11}\cdot133 =12^{11}\cdot7\cdot19\) - выражение содержит множители 7 и 19, значит, делится и на 7, и на 19.

е) \( 11^9 - 11^8 + 11^7 =\)

\(=11^7\bigl(11^2 - 11 + 1\bigr) =\)

\(=11^7\,(121 - 11 + 1) =\)

\(=11^7\cdot111 = 11^7\cdot3\cdot37\) - выражение содержит множители 3 и 37, значит, делится на 3 и на 37.

Пояснения:

1. Вынос общего множителя. При доказательствах делимости, используя распределительное свойство умножения, часто выносят за скобку наименьшую степень числа, общую для всех слагаемых, чтобы получить произведение. При этом учитываем свойство степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

2. Разложение на множители. После выноса общей степени в скобке остаётся выражение, которое раскладывают на простые множители (например, \(50=2\cdot5^2\), \(133=7\cdot19\), \(111=3\cdot37\)).

3. Критерии делимости. Произведение делится на какое-либо число, если это число является одним из множителей.