Применение векторов к решению задач

Задача 1

Точка С  - середина отрезка АВ, а О - произвольная точка плоскости. Доказать, что = ( + ).

Дано: С  - середина отрезка АВ, О - произвольная точка плоскости

Доказать: = ( + )

Доказательство:

По правилу треугольника = + , = + . Складывая эти равенства, получаем: 2 = + ( + ). Так как точка С  - середина отрезка АВ, то + = . Таким образом, 2 = , или = ( + ), что и требовалось доказать.

Задача 2

Доказать, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Дано: ABCD - трапеция, М и N - середины оснований ВС и AD соответственно, О = AB CD

Доказать: O MN

Доказательство:

OADOВС (по первому признаку подобия треугольников, так как OBC = OAD и OCB = ODA как соответственные углы при параллельных прямых ВС и AD секущими AO и OD соответственно), следовательно, .

Так как и (данные векторы являются сонаправленными, так как лежат на одной прямой и направлены в одинаково), то = , = .      (1)

Точка М - середина отрезка ВС, поэтому = ( + ). Аналогично = ( + ) (см. задачу 1).

Подставив в это равенство выражения (1) для и , получим: = ( + ) =, следовательно, векторы и коллинеарны, и значит, O MN, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Откладывание вектора от данной точки

Сумма двух векторов

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Произведение вектора на число

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 786, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 905, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1054, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник